若n是正整數,證明n(n+1)不為立方數?

如果 "立方數" 限制在整數的立方, 那是極顯然的.
因為 n 與 n+1 互質, 故 n 的質因數不為 n+1 的因
數; 反之, n+1 的質因數也不是 n 的因數. 兩互質
整數乘積是某整數的立方, 則此兩數也必分別是某
兩整數的立方. 這對平方數也如此. 因此, 對這題我
首先覺得奇怪的是: 為什麼問立方數? 難道 n(n+1)
可能是平方數?

不過, 如果把 "立方數" 的定義擴充至有,理數, 問題
就不是那麼容易看出了. 這等於說: n(n+1) 的三次
方根不是有理數.

假設 n(n+1) = (q/p)^3, p, q 互質.

如果能推出矛盾結果, 那就證明了上列假設是錯的,
也就是證明了 n(n+1) 不是立方數.

若 n(n+1) = (q/p)^3, p, q 為互質之整數.
得
    p^3 n(n+1) = q^3.
則
    p | q^3.
所以 p 的質因數可整除 q^3, 因此可整除 q.
此與 p, q 互質之假設矛盾.

因此得證 n(n+1) 不可能是某有理數的立方,
也就是說它不可能是立方數.

按: 如果以上沒做錯, 立方改成平方也是對的.