若x,y,z為正實數滿足x+y+z≧xyz,證明x ²+y²+z²≧xyz?

(昨晚的回答有問題, 算是回答了一半.
今算是補全了.)

設 xyz = k.
則 x, y, z 之幾何平均為 k^(1/3).
由算幾不等式,
    (x + y + z)/3 ≧ k^(1/3).

若 k ≧ 1, 則由
    平方之平均 不小於 平均之平方,
即:
    (x^2+y^2+z^2)/3 ≧ [(x+y+z)/3]^2
得
        x^2 + y^2 + z^2
        ≧ 3[(x+y+z)/3]^2 = [(x+y+z)/3](x+y+z)
        ≧ [(x+y+z)/3]k
        ≧ k^(1/3) k
        ≧ k = xyz

若 k < 1, 則
    (x + y + z)/3 ≧ k^(1/3)
故
        x^2 + y^2 + z^2
        ≧ 3[(x+y+z)/3]^2
        ≧ 3k^(2/3)
        ≧ 3k
        > k = xyz

故在 x+y+z≧xyz 條件下, 必有
    x^2 + y^2 + z^2 ≧ xyz


註:
僅當 xyz = k > 3^(3/2) 時, k > 3k^(1/3),
條件
     x + y + z ≧ xyz 
才會對 x, y, z 造成限制.
當 xyz = k ≦ 3^(3/2) 時, 必有
     x + y + z ≧ xyz.

所以, 在 x, y, z > 0 條件下,
    xyz≧3^(3/2) 且 x+y+z≧xyz ==> x^2+y^2+z^2≧xyz;
    xyz < 3^(3/2) ==>  x+y+z≧xyz 且 x^2+y^2+z^2≧xyz.