是否存在三個成等比數列的整數x,y,z使十進制數n=x³+y³+z³-3xyz之末兩位數字是20?

WLOG, 設 y = xr, z = xr^2.
則 xz = y^2.
故
    n = x^3+y^3+z^3-3xyz
      = x^3+y^3+z^3-3y^3
      = x^3+z^3-2y^3
      = x^3+x^3r^6-2x^3r^3
      = x^3(r^3-1)^2

因 x, y = xr, z = xr^2 均為整數,
故 r 為有理數; 且
    若 r = q/p 則 p^2 | x.

設 x = kp^2, 則 y = kpq, z = kq^2.
故
    n = k^3(q^3-p^3)^2

因 n 末2位是 20, 則 2^2 | n 且 5 | n.
故 2, 5 整除 k 或 q^3-p^3.

若 2, 5 皆整除 k, 則 n 之末3位為 0.
若 2, 5 皆整除 q^3-p^3, 則 n 之末2位是 0.
但 n = k[k(q^3-p^3)]^2, 故無論
    2 | k 而 5 | q^3-p^3, 或
    2 | q^3-p^3, 5 | k,
結果 n 末2位都是 0.

因此, 不存在成等比之整數 x, y, z, 使
    n = x^3+y^3+z^3-3xyz
之末2位是 20.