一數列的通項a(n)滿足a(1)=1,a(n+1)=a(n)+1/a(n),問a(100)之值整數部分為何?

首先, a(n) > 0 ==> a(n+1) > a(n) > 0.
因此, a(n) 是一嚴格遞增正值數列.

令 b(n) = (a(n))^2, 則
    b(n+1) = b(n) + 2 + 1/b(n)
故
    b(n) + 2 < b(n+1) ≦ b(n) + 2 + 1/b(n0) 當 n ≧ n0
故
    b(n0) + 2(n-n0) < b(n)  ≦ b(n0) +(2+1/b(n0))(n-n0)]
則
    √[(a(n0))^2+2(n-n0)] < a(n)    
         ≦√[(a(n0))^2 +(2+1/(a(n0))^2)(n-n0)]
上下間差距是
    √[(a(n0))^2 +(2+1/(a(n0))^2)(n-n0)] - √[(a(n0))^2+2(n-n0)]
         < [(n-n0)/(a(n0))^2]  ∕  {2√[(a(n0))^2+2(n-n0)]}

因 a(1) = 1,
    a(2) = 1 + 1/1 = 2
取 n0 = 2 時,
    √[2^2+2(98)] < a(1oo) ≦ √[2^2+(2+1/2^2)(98)]
即
    √200 < a(1oo) ≦ √21o.5
故
    14.1421 < a(1oo) ≦ 14.5086
所以 a(1oo) 的整數部分是 14.
(按: 實際遞迴計算得值 14.2137)