一數列的通項a(n)滿足遞推關係a(n+1)=3a(n)-2n²+4n+4,且a(1)=1,求通項a(n)的表示式?

遞迴計算

a(1) = 1

a(2) = 3(1) - 2(1^2) + 4(1) + 4

a(3) = 3[3(1) - 2(1^2) + 4(1) + 4]
                     -2(2^2) + 4(2) + 4
       = 3^2(1) -2(3．1^2+2^2) + 4(3．1+2) + 4(3+1)

a(4) = 3[3^2(1) -2(3．1^2+2^2) + 4(3．1+2) + 4(3+1)]
                        -2(3^2) + 4(3) + 4
        = 1、3^3 - 2(3^2．1^2+3．2^2+3^2)
                         + 4(3^2+3．2+3) + 4(3^2+3+1)

以此類推,
a(n) = 3^(n-1)
            - 2[3^(n-2)．1^2+3^(n-3)．2^2+...+3^0．(n-1)^2]
            + 4(3^(n-2)．1+3^(n-3)．2+...+3^0．(n-1)]
            + 4[3^(n-2)+3^(n-3)+...+1]

Σ_{k=1～n-1} a^(n-1-k) = [a^(n-1)-1]/(a-1)

Σ_{k=1～n-1} a^(n-1-k)．k
    = Σ_{k=1～n-1} Σ_{j=1～k} a^(n-1-k)
    = Σ_{j=1～n-1} Σ_{k=j～n-1} a^(n-1-k)
    = Σ_{j=1～n-1} (a^(n-j)-1)/(a-1)
    = (a^n-a)/(a-1)^2 - (n-1)/(a-1)

Σ_{k=1～n-1} a^(n-1-k)．k(k+1)
   = Σ_{k=1～n-1} Σ_{j=1～k} Σ_{i=1～j} 2a^(n-1-k)
   = 2Σ_{i=1～n-1} Σ_{j=i～n-1} Σ_{k=j～n-1} a^(n-1-k)
   = 2Σ_{i=1～n-1} Σ_{j=i～n-1} (a^(n-j)-1)/(a-1)
   = 2Σ_{i=1～n-1} {[a^(n+1-i)-a]/(a-1)^2 - (n-i)/(a-1)}
   = 2[a(n+1)-a^2]/(a-1)^3 - 2a(n-1)/(a-1)^2 - n(n-1)/(a-1)

故
    3^(n-2)．1^2+3^(n-3)．2^2+...+3^0．(n-1)^2
      = Σ_{k=1～n-1} 3^(n-1-k)．[k(k+1)-k]
      = {[3^(n+1)-9]/4 - 3(n-1)/2 - n(n-1)/2}
           - [(3^n-3)/4 - (n-1)/2]
      = (3^n-3)/2 - (n-1) - n(n-1)/2
    3^(n-2)．1+3^(n-3)．2+...+3^0．(n-1)
      = (3^n-3)/4 - (n-1)/2
    3^(n-2)+3^(n-3)+...+1 = [3^(n-1)-1]/2 = 3^n/6 - 1/2
而
    a(n) = 3^(n-1) - 2[(3^n-3)/2 - (n-1) - n(n-1)/2]
              + 4[(3^n-3)/4 - (n-1)/2] + 4(3^n/6-1/2)
         = 3^n + n^2 - n - 2



［另法］
一階常係數線性差分方程,
a(n+1) - 3a(n) = -2n^2 + 4n + 4, a(1) = 1
類似微分方程的解法.

先不管初值條件 (a(1) = 1), 方程式之通解為
    a(n) = a_h(n) + a_p(n)
 其中 a_p(n) 為方程式之一特解, a_h(n) 為對應之齊次方程
    a(n+1) - 3a(n) = 0
之通解.

零階項 -2n^2 + 4n + 4 在一階常係數線性方程對應之特解型式為
    a_p(n) = αn^3 + βn^2 + γn + δ
代入原方程式, 得
    a_p(n+1) - 3a_p(n)
      = [α(n+1)^3+β(n+1)^2+γ(n+1)+δ]
             - 3[αn^3 + βn^2 + γn + δ]
      = -2αn^3 + (3α-2β)n^2 + (3α+2β-2γ)n + (α+β+γ-2δ)
所以
    -2α = 0,
    3α - 2β = -2,
    3α + 2β - 2γ = 4,
    α + β + γ - 2δ = 4
故
    α = 0, β = 1, γ = -1, δ = -2
即
    a_p(n) = n^2 - n - 2

又,
    a_h(n) = C3^n

把初值 a(1) = 1 代入,
    1 = a(1) = a_h(1) + a_p(1)
       = C 3^1 + (1^2-1-2)
得 C = 1

所以，　
    a(n) = 3^n + n^2 - n - 2