求所有正整數n使1+2^n+3^n+4^n被5整除?

用同餘法:
    1+2^n+3^n+4^n ≡ 1+2^n+(-2)^n+(-1)^n (mod 5)

若 n 為奇數, 則顯然右式為 0.

若 n 為偶數, 2k, 則右式為
    2(1+2^n) =  2(1+4^k) ≡ 2{1+(-1)^k} (mod 5)
當 k 為奇數時右式為 0, 偶數時為 4.

故: 若且唯苦 n 為 4 的倍數時 
      1+2^n+3^n+4^n 不被 5 整除.

當 n 由 1, 2, 3, ... 遞增時, 可見
1ⁿ 的個位數是 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
2ⁿ 的個位數是 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, 2, 4, ... (四次一循環)
3ⁿ 的個位數是 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, 3, 9, ... (四次一循環)
4ⁿ 的個位數是 4, 6, 4, 6, 4, 6, 4, 6, 4, 6, ... (兩次一循環)

由於 LCM(1, 4, 4, 2) = 4, 因此 1 + 2ⁿ + 3ⁿ + 4ⁿ 的個位數是四次一循環。

當 n = 4k + 1 (k 為非負整數)，
　1 + 2ⁿ + 3ⁿ + 4ⁿ 的個位數是 1 + 2 + 3 + 4 = 1０ 的個位數，即 0；
當 n = 4k + 2 (k 為非負整數)，
　1 + 2ⁿ + 3ⁿ + 4ⁿ 的個位數是 1 + 4 + 9 + 6 = 2０ 的個位數，即 0；
當 n = 4k + 3 (k 為非負整數)，
　1 + 2ⁿ + 3ⁿ + 4ⁿ 的個位數是 3 + 9 + 7 + 1 = 2０ 的個位數，即 0；
當 n = 4k (k 為非負整數)，
　1 + 2ⁿ + 3ⁿ + 4ⁿ 的個位數是 1 + 6 + 1 + 6 = 14 的個位數，即 4。

即是，只要 n 不是 4 的倍數，1 + 2ⁿ + 3ⁿ + 4ⁿ 都會被 5 整除（因為個位數是 0）。

1,2,3,5,6,7,9,10,11,,,,,(4的倍數不行,其他都可以)