從整數1至2020中選取四個數使其中兩個數之和等於另兩個數之和有幾種方法?

C(n)=Σ_{x=1~n-3} Σ_{y=x+3~n} {[(x+y-1)/2]-x}
    = Σ_{x=1~n-3} Σ_{j=2～n-x-1} [j/2]    by  j = y-x-1
    = Σ_{i=2～n-2} Σ_{j=2～i} [j/2]           by  i = n-x-1
    = Σ_{j=2～n-2} Σ_{i=j～n-2} [j/2]       變更加總順序(2≦j≦i≦n-2) 
    = Σ_{j=2～n-2} (n-j-1)[j/2]
    = Σ_{j=2～n-2, j even, say j=2t} (n-j-1)[j/2]
          + Σ_{j=2～n-2, j odd, say j=2t+1} (n-j-1)[j/2]
    = Σ_{t = 1～[(n-2)/2]} (n-2t-1)t
          + Σ_{t=1～[(n-3)/2]} (n-2t-2)t
    = Σ_{t = 1～[(n-2)/2]} {(n-1)t-2t^2}
          + Σ_{t=1～[(n-3)/2]} {(n-2)t-2t^2}
    = (n-1)[(n-2)/2][n/2]/2 - [(n-2)/2][n/2](2[(n-2)/2]+1)/3
          + (n-2)[(n-3)/2][(n-1)/2]/2 
                   - [(n-3)/2][(n-1)/2](2[(n-3)/2]+1)/3

n even:
C(n) = {(n-1)(n-2)n/8 - (n-2)n((n-2)+1)/12}
            + {(n-2)(n-4)(n-2)/8 - (n-4)(n-2)((n-4)+1)/12}
，    = n(n-2){(n-1)/8 - (n-1)/12}
            + (n-2)(n-4){(n-2)/8 - (n-3)/12}
        = n(n-1)(n-2)/24 + (n-2)(n-4)n/24
        = n(n-2){(n-1)+(n-4)}/24
        = n(n-2)(2n-5)/24

n odd:
C(n) = {(n-1)(n-3)(n-1)/8 - (n-3)(n-1)((n-3)+1)/12}
             + {(n-2)(n-3)(n-1)/8 - (n-3)(n-1)((n-3)+1)/12}
        = (n-1)(n-3){(n-1)/8-(n-2)/12} + (n-1)(n-2)(n-3)/24
        = (n-1)(n-3)(n+1)/24 + (n-1)(n-2)(n-3)/24
        = (n-1)(n-3){(n+1)+(n-2)}/24
        = (n-1)(n-3)(2n-1)/24 

考慮自1~n中取4個相異整數x,y,u,v使x+y=u+v. 不失一般性，設x<u<v<y。故
⑴ x 可在1~n-3中任取;
⑵ y 可在 x+3~n 中任取;
⑶ u+v=x+y，故 u 取自 x+1~[(x+y-1)/2]，此處 [.] 是最大整數函數。
所以取法總數為
C(n)=S(x=1~n-3)S(y=x+3~n){[(x+y-1)/2]-x}
式中S是加總之意。
經演算(因輸入不便，略之)，其結果視 n 為偶數或奇數而定。
n 為偶數時，
C(n)=n(n-2)(2n-5)/24;
n為奇數時，
C(n)=(n-1)(n-3)(2n-1)/24。
此例n=2020，故取法數為
2020(2018)(4035)/24=685338025