在x,y的正半軸上各有m個和n個定點,在此m及n個點中每兩點連一直線,若無三線共點,問全部所連線段交點總數為何(線段端點不計)?

正 x 軸 m 個點, 正 y 軸 n 個點, 然後 x 軸上一點
與 y 軸一點相連? 

設 X1 < X2 < ... < Xm, Y1 < Y2 < ... < Yn.

首先把 Y1 連 X1,...,Xm.

當 Y2 分別與 X1,...,Xm 連接時, 依次與前 m 個
線段 (從 Y1 連出去的) 產生 m-1, m-2,..., 0 個交
點, 總共 m(m-1)/2 個交點.

從 Y3 分別與 X1,...,Xm 連接, 則與先前的 2m 
個線段產生共 2m(m-1)/2 個交點.

故 Y1,..., Yn 分別與 X1, ..., Xm 相連, 產生的交
點總數 (不含共同端點, 並假設除共同端點外無
三線段共點者) 是:
  Σ_[k=1~n] (k-1)m(m-1)/2 = mn(m-1)(n-1)/4