對所有奇素數p,求證2/p有且僅有一種方法表為2/p=1/x+1/y之形式,其中x,y為相異正整數?

(存在性)
p 是奇質數,
∴ p ⊥ 2 (p 與 2 互質)
∴ 存在正整數 m, n 使
   2m - pn = 1
事實上,
   2[(p+1)/2] - p = 1
即 m = (p+1)/2, n = 1.

∴ 2/p - n/m = 1/(mp)
∴ 2/p = 1/(mp) + n/m
       = 1/m + [(n-1)p+1]/(mp)
       = 1/m + 1/(mp)
       = 1/[(p+1)/2] + 1/[p(p+1)/2]

(唯一性)
設有 m≠n 使 2/p = 1/m + 1/n. 則
    n = 1/(2/p-1/m)
      = 1/[(2m-p)/(mp)]
      = mp/(2m-p)
則 2m-p | mp.
∴ mp = k(2m-p)
∴ m = kp/(2k-p)

若 2k-p < 0, 則 k < 0, 則 2m-p < 0,
不合. 故 2k-p > 0.


若 2k-p > 1, 則
^^^^^^^^^^^
(1) 2k-p | k, 或
(2) 2k-p = qp, q|k.

考慮 (1) 2k-p | k.
∴ k = (2k-p)q
∴ k = pq/(2q-1)
∴ 2q-1 | q
唯一可能是 q = 1
則 k = p
則 m = p
則 n = m, 不合.

考慮 (2) 2k-p = qp, q|k.
∴ k = (q+1)p/2 = qr
∴ q = (p/2)/(r-p/2) = p/(2r-p)
∴ 2r-p | p
∴ r = p or (p+1)/2
r = p ==> q = 1 ==> k = p 不合.
∴ r = (p+1)/2
∴ q = p
∴ k = p(p+1)/2
∴ m = kp/(2k-p)
     = [p^2(p+1)/2]/[p(p+1)-p]
     = (p+1)/2
∴ n = mp/(2m-p)
     = p(p+1)/2


若 2k-p = 1, 則 k = (p+1)/2,
^^^^^^^^^^^
∴ m = p(p+1)/2
∴ n = (p+1)/2


因此, 在 2/p = 1/m + 1/n 其中 m≠n
條件下, 唯一的可能是 m, n 分別取
(p+1)/2 與 p(p+1)/2.



另, 亦可先證唯一性, 再把所得之 m, n 值
代入證得存在性.