若x^n=x+1,y^2n=3x+y,已知n為不小於2的整數,求證x>y?

不知道簡捷解法.
用了微積分, 並且經過極煩瑣的討論才得證.
聊供參考.


x^n = x + 1
y^(2n) = 3x + y
∴ 4x^n - y^(2n) = 4(x+1)-(3x+y) = x-y+4
∴ x-y = 4x^n-y^(2n)-4 = 4(x^n-y^n)-(y^n-2)^2


考慮 f(x) = x^n - x - 1.
此函數有唯一相對極小 f((1/n)^{1/(n-1)}) < 0;
若 n 為奇數, 有一相對極大
    f(-(1/n)^{1/(n-1)}) = 0.
n 為偶數, 則 x→±∞ 均得 f(x)→+∞;
n 為奇數, x→±∞ 時對應地 f(x)→±∞.

因此, 方程式 x^n = x + 1
當 n 為偶數時有一正根, 一負根;
當 n 為奇數時恰有一正根, 無負根.

因 f(1) = -1 < 0, f(1+1/n) > 1 +1/n,
故正根介於 1 與 1+1/n 之間.

當 n 為偶數時 f(-1) = 1 > 0, 故負根介於 0
與 -1 之間.


固定 x, 考慮 g(y) = y^(2n)-y-3x.
類似 f(x), 可得 y 之相對極小也是絕對最小是
    g([1/(2n)]^{1/(2n-1)})
      = [1/(2n)]^{1/(2n-1)}[1/(2n)-1]-3x
當 x < 0 時此最小值為正, 故 g(y) 恆正, 方
程式 y^(2n) = 3x + y 無解. x > 1 則上列最
小值是負的, 所以 g(y) = 0 有二實根, 一正一
負.

因 x^n = x + 1, y^(2n) = 3x + y 聯立解則
x 介於 1 與 1+1/n 之間, 故 y 取負根時 x
大於 y.

考慮 y 的正根. 因 g(1) = -3x < 0,
    g(1+3/n) > 1+2n(3/n) - (1+3/n) - 3x
       > 1+6-(1+3/n)-3(1+1/n) = 3 - 6/n
       > 0
可知 y 介於 1 與 1+3/n 之間.


由前面,
    x - y  = 4(x^n-y^n)-(y^n-2)^2
或
    (y^n-2)^2 = 4(x^n-y^n) - (x-y)
         = (x-y)[4(x^n-y^n)/(x-y) - 1]
左邊是非負的, 因此若 x≠y 則必須
    4(x^n-y^n)/(x-y) - 1 與 x - y
同正負.

但 (x^n-y^n)/(x-y) 是曲線 u(x) = x^n 上
兩點 (x,x^n), (y,y^n) 之斜率. 因為 x, y
都大於 1, 故此斜率至少是 n．min{x,y} > n,
故 4(x^n-y^n)/(x-y) - 1 > 0, 所以 x > y.

是否可能 x = y?
若 x = y 則
    x^n = x + 1 且 x^(2n) = 3x + x = 4x
則 (x+1)^2 = 4x 得 x = 1. 但 x = 1 不滿足
原方程式.
∴ x ≠ y.
∴ x > y.