某凸n邊形的任兩條對角線不平行且無三條對角線共點,把所有對角線兩面延申,問形外得幾交點?

(試解)

凸 n 邊形之對角線相互不平行.

兩對角線延長線在 n 邊形外交叉,
其充分且必要條件是:
    兩對角線之起點及終點均不同, 且
    兩對角線在 n 邊形內不交叉.


設 n 邊形頂點 A_1,...,A_n.
與對角線 (A_1)(A_k) 在 n 邊形外交叉之對角線有兩群,
一群在 A_2,...,A_(k-1) 取點, 有 (k-3)(k-4)/2 條;
另一群在 A_(k+1),...,A_n 取點, (n-k-1)(n-k-2)/2 條.

假設不發生在 n 邊形外三線共點情形.

n = 6 時,
  k = 3 得 (6-3-1)(6-3-2)/2 = 1
  k = 4 得 0
  k = 5 得 (5-3)(5-4)/2 = 1
具體地說, 自 A1 拉出之對角線, 僅 A1A3 與 A4A6 及
A1A5 與 A2A4 是在 6 邊形外相交.


故 n 邊形頂點 A_1 拉出之對角線, 是在 n 邊形外與其他
對角線相交的數量是
  Σ_{k=3～n-1} [C(k-3,2)+C(n-k-1,2)]
共有 n 個頂點, 但每條對角線兩頂點, 又相交之對角線會
重覆計數, 因此, 所有交點數應是
    n{Σ_{k=3～n-1} [C(k-3,2)+C(n-k-1,2)]}/2^2

n = 6 得
    6(1+o+1)/4 = 3

n = 7 得
    7(3+1+1+3)/4 = 14


化簡前列算式:
    n{Σ_{k=3～n-1} [C(k-3,2)+C(n-k-1,2)]}/2^2
        = (n/4) [Σ_{k=5～n-1}C(k-3,2) + Σ_{k=3～n-3}C(n-1-k,2)]
        = (n/4) [Σ_{i=2～n-4}C(i,2) + Σ_{j=2～n-4}C(j,2)]
        = (n/2) Σ_{i=2～n-4}[C(i+1,3)-C(i.3)]
        = (n/2) C(n-3,3)