求最大的自然數n使之能整除(7^m)+12m-1,其中m為任何自然數?

7^m + 12m - 1
   = 6[7^(m-1)+...+7+1] + 12m
   = 6[7^(m-1)+...+7+1+2m]
   = 6{[7^(m-1)+2]+...+(7+2)+(1+2)}

∵ 7 ≡ 1 (mod 3)
∴ 7^k ≡ 1 (mod 3) for all k in N

∴ 3 | [7^(m-1)+2]+...+(7+2)+(1+2)
∴ 18 | 7^m + 12m - 1

取 m = 1 則 7^m + 12m - 1 = 18

∴ 7^m + 12m - 1, m in N, 之最大公因數為 18.