設f(x)=ax²+bx+c,若f(1),f(2),f(3),f(4),f(5)都是質數,求證f(x)不能分解為兩個整係數一次式之積?

設  f(x) = (mx+n)(px+q), m,n,p,q 皆整數.
則 (在 f(x) 是質數條件下)
    x = 1,2,3,4,5 時, x×m + n 或 x×p + q
    二者之一只能是 ± 1.

但 xm+n, xp+q 在 x = 1,2,3,4,5 最多各只有
其中兩個 x 值可能得到 ±1 的結果, 所以最多
有 4 個 x 值使 xm+n 或 xp+q 得值 1 或 -1.

也就是說: 至少在這 5 個 x 值之一使 mx+n
與 px+q 都不是 ±1, 因此對應 f(x) 非質數.

已知 f(1),f(2),f(3),f(4),f(5)都是質數, 所以
f(x) 不可能分解為兩整係數一次式乘積.