若x²+5x+16被169整除,證明 x不是整數?

因 169 = 13^2,
故 x^2+5x+16 是 169 的倍數首先必須是 13 的倍數.

令 f(x) = x^2 + 5x + 16.

設 x = n+13k, k, n 皆整數. 則
    f(x) = f(n) + 13(2n+5)k + 169k^2
故:
(1) f(n+13k) 是 13 的倍數
    若且唯若 f(n) 是 13 的倍數.
(2) 若 f(n) 是 169 的倍數, 除非 k 是 13 的倍數
    或 n = 4, 否則 f(n+13k) 不是 169 的倍數.
    但 k 是 13 的倍數或 n = 4 時, f(n) 與
    f(n+13k) 同時是或不是 169 的倍數.

取 n = 0, 1,..., 12, 唯有 n = 4 得 f(n) = 52
是 13 的倍數但非 169 的倍數. 由上面的結果可知:
若 x 是整數, 則 f(x) = x^2 + 5x + 16
(1) 只有 f(4+13k), k 整數, 是 13 的倍數;
(2) 沒有整數 x 使 f(x) 是 169 的倍數.