正實數x,y,z滿足xyz=1,問x³/[(y+1)(z+1)]+y³/[(z+1)(x+1)]+z³/[(x+1)(y+ 1)]之最小值為何? 若A,B,C是三角形的三個內角,問cosA+cosB+cosC和sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)之大小關係如何?

由算幾不等式,
x³/[(y+1)(z+1)]+y³/[(z+1)(x+1)]+z³/[(x+1)(y+ 1)]
   ≧ 3{(xyz)^3/[(x+1)(y+1)(z+1)]^2}^(1/3)
等式成立於
x³/[(y+1)(z+1)] = y³/[(z+1)(x+1)] = z³/[(x+1)(y+ 1)]

由於都是正數,
x³/[(y+1)(z+1)] = y³/[(z+1)(x+1)] 
  <==> x^3/y^3 = (y+1)/(x+1)
  <==> x^4+x^3 = y^4+y^3
  <==> x^4-y^4 + x^3-y^3 = 0
  <==> (x-y)(x^3+x^2y+xy^2+y^3 + x^2+xy+y^2) = 0
  <==> x = y

所以, 前述不等式其等號成立的充要條件是 x = y = z.

因 xyz = 1, 故所求最小值是 x = y = z = 1 時的值, 3/4.



(cos(A)+cos(B)+cos(C)) - (sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2))
  = (1-2sin^2(A/2)-sin(A/2)) + (1-2sin^2(B/2)-sin(B/2))
        + (1-2sin^2(C/2)-sin(C/2))
  = (1+sin(A/2))(1-2sin(A/2)) + (1+sin(B/2))(1-2sin(B/2))
        + (1+sin(C/2))(1-2sin(C/2))
  ≦ (3+sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)) ×
              (3-2sin(A/2)-2sin(B/2)-2sin(C/2))/3 (*)

sin(A/2) + sin(B/2) + sin(C/2)
    = sin(A/2) + sin(B/2) + sin(π/2-(A+B)/2)
    = sin(A/2) + sin(B/2) + cos(A/2+B/2)
    = sin(A/2)+sin(B/2)+cos(A/2)cos(B/2)-sin(A/2)sin(B/2)
    = cos(A/2)cos(B/2) - (1-sin(A/2))(1-sin(B/2)) + 1

考慮函數
  f(x,y) = cos(x)cos(y) - (1-sin(x))(1-sin(y)) + 1,
                  x, y > 0, x+y < π/2
用微積分的方法, 可證得其最大值發生在 x = y = π/6 時, 得值
  f(x,y) ≦ f(π/6,π/6) = (√3/2)^2 - (1-1/2)^2 + 1 = 3/2

∴ sin(A/2) + sin(B/2) + sin(C/2) ≦ 3/2.

所以, 由 (*),
  (cos(A)+cos(B)+cos(C)) - (sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)) ≦ 0.
當 ∠A = ∠B = ∠C = 60° 時得 0.

∴ cos(A)+cos(B)+cos(C) ≦ sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)
當三個角相等 (都是 60°) 時, 兩者相等.



附: 關於 (*)
這算是統計學上的不等式:
若 a > b > c > ..., x < y < z < ...
則 ax + by + cz + ... < (a+b+c+...)(x+y+z+...)/n
此處 n 是指 (a,x), (b,y), (c,z),... 配對數.
或者說, 如果 m = (a+b+c+...)/n, u = (x+y+z+...)/n,
則 (ax + by + cz + ... )/n < m．u, 即乘積之平均小於平均之乘積.
若上述 a, b, c...; x, y, z... 等不是嚴格順序, 當然不等式也要改
成 "≦".
[證]
因
   ax + by + cz + ...
     = (a-m)x + (b-m)y + (c-m)z + ... + m(x+y+z+...)
所以, 不失一般性, 可假設 u = 0, 即 x+y+z+... = 0.
又, 為求完整, 把 a, b, c 等改用 a_i; x, y, z 等用 x_i 重新標識.
在 a_i 遞減, x_i 遞增, 而 Σx_i = 0 條件下欲證 Σ a_i x_i < 0.
Σ a_i x_i = Σ(a_i-a_n)x_i + a_nΣx_i
   = Σ_{i < n} (a_i-a_n)x_i
   = (a_1-a_2)x_1 + (a_2-a_3)(x_1+x_2) + ...
               + (a_(n-1)-a_n)(x_1+...+x_(n-1))
因為 x_1 < ... < x_n, 且 x_1 +...+ x_n = 0, 故
   x_1 + ... + x_k < 0 (或 ≦0), for all k < n.
又因 a_k-a_(k+1), k=1,...,n-1, 都是正的(或非負的),
所以得 Σ a_i x_i < 0 (或 ≦0).


附: 關於雙變量實變數實值函數 f(x,y) 求極大極小.
在 y 固定之下變動 x 求極大極小; 又在 x 固定下變動 y 求極值.
若 y 固定下 f(x,y) 達極值條件與 x 固定下 f(x,y) 達極值條件
同時滿足, 則它可能是所要的極值(條件), 或此時 f(x,y) 從某方
向看達相對高點, 另一方向看卻是相對低點, 即所謂 "鞍點".

以 f(x,y) = cos(x)cos(y)-(1-sin(x))(1-sin(y))+1 在 x, y > 0
且 0 < x+y < π/2 區域之極值為例.

當 y 固定時, f(x,y) 對 x 的 (偏) 導數是
   -sin(x)cos(y) + cos(x)(1-sin(y)) = cos(x)-sin(x+y)
x 從 0 到 π/2 - y 則 f(x,y) 從上升到(可能)下降, 唯一(可能)
高點在cos(x) = sin(x+y) 時.

當 x 固定時對 y 做 (偏) 微分則得
   -sin(y)cos(x) + cos(y)(1-sin(x)) = cos(y)-sin(x+y)
y 從 0 到 π/2 - x 則 f(x,y) 從上升到(可能)下降, 唯一(可能)
高點在cos(y) = sin(x+y) 時.

所以, 當 cos(x) = sin(x+y) = cos(y), 即 x = y = π/6 時得
f(x,y) 之相對極大, 考慮 f(x,y) 在整個定義域的變化, 它也
是 絕對最大.