有1999個共線點,以這些點為端點的所有線段中,至少有幾個不同的中點?

1998+1997 = 3995.

不同的中點數最少的情形是這1999個點等距散佈在一直線上.
如果給定個座標, 它們的位置是 1, 2,...,1999. 則: 
相鄰點連線段中點依序是: 1.5, 2.5,...,1998.5;
隔一點之兩點連線段中點分別是:
  (1,3)中點是2, (2,4)中點是3,...,(1997,1999)中點是1998.

隔2點之兩點(1,4),(2,5)等等的連線段中點 2.5, 3.5,...都重疊到
相鄰點連線段中點; 隔4點, 隔6點等等也是.

隔3點之兩點如(1,5), (2,6)等等的連線段中點 3,4,...也與隔一
點之兩點連線段重疊; 隔5點, 隔7點等等的情形與此相同.

也就是說: 如果1999個點等距(在一直線上), 只有相鄰點的中
點是全然可見, 這有1998個; 隔一點之兩點1997組其中點是與
先前1998個 "中點" 不同的, 不過它們又與原來的1999個點有
所重疊, 只是只論 "中點" 的話, 它們確實與那1998個相鄰點的
中點不同. 所以總共有3995個不同中點.

如果有不等距的點, 如 1  改成 0, 則
   (0,2) 中點是 1, (0,3) 中點是 1.5, (0,4) 中點是 2,...
   (0,1999) 中點是 999.5.
可以看出只改變一點位置, 其相關的連線段中點就全然不同了.
不過, 仍然可能發生中點重疊的情形, 特別是其他點也改變位置, 
很難說出幾點不等距就有幾個不同中點的解答.

當然, 不免會有人問: 在不等間距時, 間隔一點之兩點連線段中
點是否會與相鄰兩點之中點重疊? 答案是: 不會. 因為設
   a < b < c < d ...
則
   (a+b)/2 < (a+c)/2 < (b+c)/2 < (b+d)/2 < (c+d)/2 ...
因此確定 線上 n 個相異點, 取兩點為端點之線段中點, 至少有
   (n-1) + (n-2) = 2n-3

又, n 個點兩兩畫線段並求其中點, 最多有 C(n,2) = n(n-1)/2個.
故 1999個點兩兩配對之最多不同中點數是 1999(1998)/2
= 1997001(個).