求和:C(n,1)-(1/2)C(n,2)+(1/3)C(n,3)-.....+((-1)^(n-1))(1/n)C(n,n)=?

Σ_{k=1～n} (-1)^{k-1}C(n,k}/k
    = Σ_{k=1～n} (-1)^{k-1}[C(n+1,k)-C(n,k-1)]/k
    = Σ_{k=1～n} (-1)^{k-1}C(n+1,k)/k
                   - Σ_{k=1～n} (-1)^{k-1}C(n,k-1)/k
    = Σ_{k=1～n+1} (-1)^{k-1}C(n+1,k)/k - (-1)^n/(n+1)
                   -  [1/(n+1)]Σ_{k=1～n} (-1)^{k-1}C(n+1,k)
    = Σ_{k=1～n+1} (-1)^{k-1}C(n+1,k)/k
                   - [1/(n+1)]Σ_{k=1～n+1} (-1)^{k-1}C(n+1,k)
    = Σ_{k=1～n+1} (-1)^{k-1}C(n+1,k)/k
                  + [1/(n+1)](Σ_{k=0～n+1} (-1)^kC(n+1,k) -1)
    = Σ_{k=1～n+1} (-1)^{k-1}C(n+1,k)/k
                  + [1/(n+1)](1-1)^(n+1)-1/(n+1)
    = Σ_{k=1～n+1} (-1)^{k-1}C(n+1,k)/k - 1/(n+1)

令 Σ_{k=1～n} (-1)^{k-1}C(n,k}/k = p(n),
則前面得到的關係式可寫為: 
     p(n) = p(n+1) - 1/(n+1)
或:
     p(n+1) = p(n) + 1/(n+1),
     p(1) = 1
故得:
     p(n) = 1+1/2+...+1/n