三個正數x,y,z滿足x+y=xy和x+y+z=xyz,試求z的取值範圍?

設 x+y = xy = w,
則 w+z = wz
顯然 w≠1, 否則 1+z = z 矛盾.
z = w/(w-1).

x+y = w, 且 xy =w.
所以, w = x(w-x) = wx-x^2
方程 x^2 - wx + w = 0 解 x 得
   x = [w ±√(w^2-4w)]/2
所以 x, y 一個是 [w+√(w^2-4w)]/2,
另一個是  [w-√(w^2-4w)]/2.
因 x, y 是實數, 所以 w^2 ≧ 4w.
因 w = x+y > 0, 所以 w ≧ 4.

則 z = w/(w-1) = 1 + 1/(w-1) ≦ 4/3.
又 w→∞ 則 z→1. 
但 z > 1.

∴ 1 < z ≦ 4/3.

Check:
給定 x, y 使 x+y = xy = w,
或者給定 w≧4, 取 x, y 分別是
 [w ±√(w^2-4w)]/2 ,
再取 z = w/(w-1),
結果:
  x+y+z = w+z = w^2/(w-1) = wz = xyz.