若x≥1,y≥1,且(logx)^2+(logy)^2=log(10x^2)+log(10y^2),問log(xy)最大值為何?

令 a = log x, b = log y
則原題相當於:
a, b 非負, 且
a^2 + b^2 = (log 10 + 2a) + (log 10 + 2b)
求 a + b 之最大值.

如果 log 是以 10 為底, 則 log 10 = 1.
此處就以 k 代表常數 log 10.

上面的條件式等於
  (a-1)^2 + (b-1)^2 = 2+2k
也就是說, 是在 a-b 平面上, 以 (1,1) 為圓心, 
以 √(2+2k) 為半徑的一個圓.

a + b = c 是在 a-b 平面上的一條直線. 
此直線與上面以 (1,1) 為圓心的圓相交,
問 c 的最大值. 那就是 a + b = c 與圓在
右上角相切時, 此時 a = 1+t = b, 
   t = √(1+k).
所以,
   max. log(xy) 
      = max. a+b
      = 2+2√(1+log 10)