若x和y為正數且x^2+y^2=1, 問(x^3+y^3)/(xy)最小值為何?

(x^3+y^3)/(xy)最小若且唯若其平方最小.

[(x^3+y^3)/(xy)]^2 = (x^6+y^6)/(x^2y^2) +2xy
  = [(x^2+y^2)^3-3x^2y^2(x^2+y^2)]/(x^2y^2)+2xy
  = [1-3x^2y^2]/(x^2y^2)+2xy
  = 1/(xy)^2 +2(xy) - 3

x^2+y^2 = 1 且 x, y > 0, 則 xy 最大是 1/2, 發生
在 x=y=1/√2.

f(t) = 1/t^2 + 2t, 0 < t ≦ 1/2, 微分法可證在此範圍
最小值是 f(1/2) = 5.

所以 [(x^3+y^3)/(xy)]^2 最小值是 2,
(x^3+y^3)/(xy) 最小值是 √2.

當 x=y=1/√2 時, 代入 (x^3+y^3)/(xy)  亦可算得其
值為 √2.


關於 x^2+y^2=1 時 xy 最大值的問題.
可用圖示法得之. 或分兩步, 首先是在 
x+y = s 限制下得 xy 最大發生在 x=y=s/2;
其次是在 x^2+y^2=1 限制下 x+y 最大是
直線 x+y = s 與 x^2+y^2 = 1 相切, 此時 
x = y = 1/√2.

關於 f(t) = 1/t^2 + 2t, 0 < t ≦ 1/2 之上升下降,
除微分法外, 可用 f(t+Δ)-f(t) 之正負來看, 利用
0 < t ≦ 1/2, 在 0 < Δ < t 之下可證 f(t+Δ) < f(t).