若0≤x≤1,證明x^2,(x-1)^2和1-x^2-(x-1)^2三數中必有一個不小於4/9?

(x-1)^2 = (1-x)^2, 
1-x^2-(1-x)^2 = 2x(1-x)

一組有趣的數:.x^2, (1-x)^2, 2x(1-x) 與機
率有點關係. 如果某種試驗成功的機率是 
x, 獨立重複兩次試驗, 則三個數分別是成
功 2次, 0次, 1次 的機率.

又,以這三數為係數構建一個二次方程式:
  x^2 t^2 + 2x(1-x) t + (1-x)^2 = 0
這方程式有重實根 t = -(1-x)/x. 依前面有
問過的: 方程式
   at^2+bt+c = 0, a+b+c =  d > 0
有實根, 則 a, b, c 至少有一不小於 4d/9,
套用在這裡, d = 1, 所以 x^2, (1-x)^2 與
2x(1-x) 至少有一個不小於 4/9.

在這裡可以不用考慮二次方程式係數的
問題, 因為三數只決定於一個 x.

(1) x ≧ 2/3, 則 x^2 ≧ 4/9.
(2) x ≦ 1/3, 則 (1-x)^2 ≧ 4/9.
(3) 1/3 < x < 2/3, 則
          2x(1-x) > 2(1/3)(2/3) = 4/9
      此因函數 f(x) = 2x(1-x) 是對稱於 
      x = 1/2,  而在對稱點值最高.

故無論 x 處於 0-1 之間哪個位置, x^2, 
(1-x)^2 與 2x(1-x) 必有一個不小於 4/9.