已知實係數二次方程ax^2+bx+c=0有實根,且a+b+c=d>0 證明a,b,c三數中至少有一個不小於4d/9?

若 a, b, c 三數至少有一為非正, 例如假設
c ≦ 0, 則 a+b ≧ d, 則 a, b 至少其中之一不
小於 d/2, 當然也不小於 4d/9.

考慮 a, b, c 皆為正數.

假設 b < 4d/9, 則 a+c > 5d/9.

方程式有實根, 所以 b^2 ≧ 4ac.
∴ ac ≦ b^2/4 < (4d/9)^2/4 = 4d^2/81
a > 5d/9 - c
∴ (5d/9 - c)c < ac ≦ 4d^2/81
即   c^2 - (5d/9)c + 4d^2/81  > 0
配方得
   (c - 5d/18)^2 > 9d^2/324
即  c > 5d/18 + 3d/18 = 4d/9
或 c < 5d/18 - 3d/18 = d/9
但 c < d/9 則得 a > 4d/9

所以, a, b, c 皆正時,
b ≧ 4d/9 或 a > 4d/9 或 c > 4d/9.