a.利用數學歸納法證明以下有限數列之和，對於所有正整數n都成立：2+4+6+8+...+2n=n(1+n) b.承(a)求2+4+6+8+...+1012的值 c.承(a)及(b)求1014+1016+...+2470的值?

a.利用數學歸納法證明以下有限數列之和，對於所有正整數n都成立：2+4+6+8+...+2n=n(1+n)
Sol
當n=1時
左=2*1=2
右=1*(1+1)=2
So
n=1時為真
設n=k時為真即
2+4+6+8+...+2k=k(1+k)
2+4+6+8+...+2k+2(k+1)
=k(k+1)+2(k+1)
=(k+2)(k+1)
=(k+1)[(k+1)+1]
So
n=k+1時為真
b.承(a)求2+4+6+8+...+1012的值
Sol
2+4+6+8+...+1012
=2+4+6+8+...+12*506
=506*507
=256542
c.承(a)及(b)求1014+1016+...+2470的值?
Sol
2+4+6+8+...+2470
=2+4+6+8+...+2*1235
=1235*1236
=1526460
So
1014+1016+...+2470
=1526460-256542
=126918