請問有關 be of 的用法 與 語意?

你提出各例句的of都不是相同的用法/句法，先說補充的三句是較為同類的。
... handling of ...
noun(gerund動名詞) of

... handling of ...
noun(gerund動名詞) of

... management of ...
noun(名詞) of

需要"of"是前置詞(preposition)連貫前面的名詞跟後面的名詞的"關係"。沒有了便是兩個無法理解的名詞：
handling relief efforts
handling operations
management the crisis
中文人看這些名詞意思自行配上"關係"感覺正確是因為中文很多詞組(詞語)的結構是採用"含意"關係"而成，但英語的詞或句子把字組合並不像中文的"詞語"，而是用"字連字"的格式，而"連"的詞(包括前置詞/連接詞/片語)等都是構成句子意思的必須鏍絲，不用/漏用/錯用便會改變句的構成和意思。
當然句子寫法有很多形式，你的例句可以不寫成"gerund(noun) of (noun)"，但全句的其他詞組亦要改動，例如
Residents of Tainan are backing the way city Mayor William Lai handled the post earthquake disaster relief efforts and search-and-rescue operations.
... 88-per cent of respondents backed how Lai handled the operations
... did not approve the crisis management method of Lai.

回答第一個問題
is of great importance
是一種phrasing習慣句法。
一般of後是形容+名詞以增強語氣。
意思=is very important.(important是形容詞，原句的importance是名詞)
這兩組寫法是可互換的，但每組內的字組則不能錯寫。

...with diplomatic allies is very important for the country.

所以不是"加了of"而是句式本身是一組「of+形容性的名詞」

You are interested to analyze English sentence.
You are of interest in analyzing English sentence.

*(…that) "Diplomatic work must continue and consolidating ties with diplomatic allies”《(子句)主詞》
*is(連綴動詞)
“of great importance (for the country)”《主詞補語=介系詞片語=形容詞片語=介系詞+形容詞+名詞；(修飾語)》
*本子句係基本句型2. S+Vi+sC (主詞+動詞+主詞補語)。
*而主詞補語若是名詞時，其和主詞是指同一個人或物。所以本題不可用”… is great importance (for the country).”但可用 ”… is very important (for the country).”
*句型2. S+Vi+sC (主詞+動詞+主詞補語) 例2. He becomes a painter. / She is beautiful.
*of 介系詞,prep. (本題)釋義9.表示具有某種性質 例. It is a matter of importance. 這是一件重要的事。
*of [介系詞] (本題)釋義13.((性質・状態)) ((●of+用名詞使作為形容詞句)) …的(具有性質)，表示著…特徵，…特有的… 例. a man of property [importance] 財産家［重要人物］例. It will be of some use in the future. 那個將來會是什麼有用。 例. We are (of) the same age. [=((英)) We are of an age.] 我們是同年紀。 （◆表年齢・色彩・形狀・尺寸・職業・價格等的時候， of 通常省略）.
*great [形容詞] (本題)釋義3.(1)((通例限定的)) 〈事情是〉(在程度・強度等的方面)非常地，強度的，強烈地，異常地 例. great pain 激痛 例. great sorrow [pleasure] 非常的悲傷[喜悅] ●例. be of great importance [use, value] 是非常重要〔有用，貴重〕。
#補充部分- "of "的文法，與主題不同的。某一辭典解釋"of "的文字約3,052字，亦即好好研讀它為宜。

如上之文, 這裡的

is of great importance　（Ｏ）= is very important.
is great importance　（Ｘ）

William Lai's "handling the post earthquake disaster relief efforts" (OK, where handling is a participle)
William Lai's handling of "the post earthquake disaster relief efforts" (better, where handling is a gerund)

Other examples in your question are the same. Trust me, these "of's" are good to use.