如圖，I為△ABC的內心，I在DE上，且DE//BC，若AB=8，AC=7，BC=5則DE=?

Sol
I為△ABC的內心
BD=DI，CE=EI
DE=DI+IE=BD+CE=(AB－AD)+(AC－AE)=(AB+AC)－(AD+AE)=15－(AD+AE)
DE+AD+AE=15
△ABC～△ADE
AB/AD=AC/AE=BC/DE
8/AD=7/AE=5/DE=(8+7+5)/(AD+AE+DE)=20/15=4/3
DE=15/4

r=內心半徑
a,b,c=邊長=5,7,8
s=(a+b+c)/2=(5+7+8)/2=10

用 Hero's 方程式:
△面積=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))
=sqrt(10(10-5)(10-7)(10-8))
=sqrt(10*5*3*2)
=10sqrt(3)

內心半徑=Area/s=10sqrt(3)/10=sqrt(3)

高
=2*Area/mBC
=2*10*sqrt(3)/mBC
=2*10*sqrt(3)/5
=4sqrt(3)

△ADE and △ABC are similar,
所以DE/BC=(4sqrt(3)-sqrt(3))/4sqrt(3)
mDE=mBC*(3/4)=15/4