拋物線y=-(x-p)(x-p)+q的頂點在y=x(x*x-2)上,且此二曲線恰有兩交點求p值?

Sol
x(x^2－2)=x^3－2x
設頂點(a，a^3－2a)
y=－(x－a)^2+(a^3－2a)
p=a
－(x－a)^2+(a^3－2a)=x^3－2x
x^3+x^2+(－2a－2)x+(－a^3+a^2+2a)
　　　　ｘ２＋（ａ＋１）ｘ＋（ａ－２）（ａ＋１）
　　　───────────────────────────
ｘ－ａ）ｘ３＋　ｘ２－２（ａ＋１）ｘ－ａ３＋ａ２＋２ａ
　　　）ｘ３－ａｘ２
　　　）──────────────────────────
　　　）（ａ＋１）ｘ２－２（ａ＋１）ｘ－ａ３＋ａ２＋２ａ
　　　）（ａ＋１）ｘ２－ａ（ａ＋１）ｘ
　　　）──────────────────────────
　　　）（ａ－２）（ａ＋１）ｘ－ａ３＋ａ２＋２ａ
　　　）（ａ－２）（ａ＋１）ｘ－ａ（ａ－２）（ａ＋１）
　　　）──────────────────────────
　　　）０
恰有兩交點=>有２重根
(1) x=a 有2重根
a^2+(a+1)a+(a－2)(a+1)=0
a^2+a^2+a+a^2－a－2=0
a^2=2/3
a=p=+/-√6/3
(2) x^2+(a+1)x+(a^2－a－2)=0有2重根
D=(a+1)^2－4*1*(a^2－a－2)=0
(a^2+2a+1)－(4a^2－4a－8)=0
－3a^2+6a+9=0
a^2－2a－3=0
(a－3)(a+1)=0
p=3 or p=－1
So
p=+/-√6/3 or p=3 or p=－1