開根號的答案恆正，根號相關問題

問別人根號的由來，十個有九個會說不知道而剩下一個會用數學的方式來解釋，到底是學數學還是學計算?!這個問題有待各位衡量。 1. 一個數會有兩個平方根,一正一負，但是開根號後的答案只有其中正的那一個，是否可以理解為開根號是要解那個數的正平方根，還是有更好的解釋“為什麼開根號後答案恆正的”Sol:開根號 → 其定義為『已知正方形面積，而為求正方形邊長長度』。顧由定義可知，在實數空間下，該邊長長度必恆為正數。故會有√36 = 6 ≠ -6 2. 開根號的答案恆正，但是如果根號內是負數，開出來不就會是虛數，那“開根號的答案恆正”仍然成立嗎？Sol: 這個問題回到第一個問題，若該正方形面積為負數，開根號會得? 在虛數空間下，該邊長長度必恆為虛數。 故會有√36 = 6i ≠ -6i 3. 承上，在不知道根號內是正數或負數的情況下，可以直接假設它＞0嗎？Sol: 此問題牽扯到物理觀念，必須事先判斷計算時方程式處於哪個空間下，才能判別該根號內數值正負。

1. "是否可以理解為開根號是要解那個數的正平方根?"


基本上可以. 不過, √0 = 0 並不是正數. 所以, "取正平方根" 的真意
是 "不取負平方根".

當 x > 0 時, √x 取正根, 這是對符號 √ 的一個約定.
而 x 的平方根是 ±√x



2. 如果根號內是負數，開出來不就會是虛數 ...


虛數沒有所謂正負.

若 x < 0, 則 √x 依習慣約定是 (√(-x)) i, 其中 i (有人喜歡用 j) = √(-1)
稱為 "虛數單位". 如 √(-4) = 2i.

2014-12-28 20:19:22 補充：
3. 在不知道根號內是正數或負數的情況下，可以直接假設它＞0嗎？

看課程或應用場合而定. 在只考慮實數的情形, √x 僅當 x 為正或 0 時
有意義.

但在很多時候, 虛數也被考慮在內, 則 √x 中的 x 也可以是負值, 甚至
可以是虛數.

假設有一正數P，則：
(1)√P=P的正平方根
(2)-√P=P的負平方根
±√P是P的兩個平方根

0的平方根只有一個：就是0

負數N的平方根=±(√-N)i，i=√-1