"急 數學機率題目

1. 某批產品共11件，其中有3件為不良品。今自該批產品中隨機抽取3件來檢驗，如發現有兩件或兩件以上的不良品，則整批產品予以退貨。試問 整批產品被退貨之機率為何? Sol: 2件不良品 → 3件為不良品取2件出來 → C(3,2) = 3 剩下8件良品 → 8件取1件出來 → C(8,1) = 8 即，隨機抽3件會有2件不良品之組合為C(3,2) × C(8,1) = 24 而，3件不良品 → 3件為不良品取3件出來 → C(3,3) = 1 故，會有2件或2件以上的不良品 → 24 + 1 = 25 最後，全部11取3件 → C(11,3) = 55 故，此題為 25 / 55 = 0.455 = 4.55% 2. 甲乙丙丁四人輪流擲一公正硬幣，約定先擲出『正面』者贏，現由甲先擲，乙次之，丙再次之，依此類推。則；丙贏的機率為何? Sol: 甲輸 →乙才有機會贏甲、乙輸 →丙才有機會贏甲、乙、丙輸 →丁才有機會贏甲、乙、丙、丁輸 →甲才有再機會贏甲*2、乙、丙、丁輸 →乙才有再機會贏甲*2、乙*2、丙、丁輸 →丙才有再機會贏…… 若不討論大家全輸的狀況下，丙要贏只要甲乙都輸即可。 故 甲、乙輸 →丙才有機會贏 表示，在甲乙都輸而丙贏的機率只有1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8 = 0.125 = 12.5%

第一題
抽出的三件產品不論是哪一件
良率和不良率都分別是8/11和3/11

(1)兩件不良品的機率
有兩件不良品，代表有一件良品
故(3/11)^2 *(8/11)

(2)三件不良品的機率
(3/11)^3

所求=(1)+(2) =[(3/11)^2][8/11 +3/11]

ANS：9/121


第二題
反-反-正 ~丙贏，(1/2)^3
若丙也擲出反，但是丙還想贏
那丁就得擲出反來結束第一輪
四人進入第二輪
反-反-正 ~丙贏
統計反-反-反-反-反-反-正，(1/2)^7
若丙也擲出反，但是丙還想贏
那丁就得擲出反來結束第二輪
四人進入第三輪......(1/2)^11

故所求為(1/2)^3 +(1/2)^7 +(1/2)^11 +......
(1/2)^3 * [1+(1/2)^4 +(1/2)^8+......]
令S=1+(1/2)^4 +(1/2)^8+......
則[(1/2)^4]S= (1/2)^4 +(1/2)^8+ (1/2)^12+......
兩式相減得(15/16)S= 1-(1/2)^(4∞) =1，S=16/15
所求=[(1/2)^3]S =(1/8)(16/15)

ANS：2/15


2014-12-16 11:56:29 補充：
待會來檢查第一題的回答~

2014-12-16 14:00:08 補充：
更正第一題的解答如下：
抽到兩件或兩件以上的不良品
就是至少抽到兩件不良品的意思

三件不良品取兩件→C(3,2)
剩下八件良品和一件不良品，此時：
若抽到良品，則總共抽到兩件不良品
若抽到不良品，則總共抽到三件不良品

換句話說剩下的九件物品不管抽到什麼都符合條件
→C(9,1)

事件機率 = 子樣本數 / 母樣本數
所求= C(3,2)*C(9,1)/C(11,3)
= 3*9/(11*10*9/3) =(3^2)/(11*10)

ANS：9/110