多項式函數問題(高一)

1.二次函數f(x)=ax^2+bx+c滿足f(4－x)=f(x)，且f(x)有最小值2，則何者正確
(A)a<0
(B)4a+b>0
(C)c－4a>0
(D)b>0
(E)c<2
Sol
f(4－x)=a(4－x)^2+b(4－x)+c
=a(x^2－8x+16)+4b－bx+c
=ax^2+(－8a－b)x+16a+4b+c
－8a－b=b，16a+4b+c=c
8a=－2b
b=－4a
f(x)=a(x－p)^2+2=a(x^2－2px+p^2)+2
b=-2ap，c=ap^2+2
－4a=－2ap，a<>0
p=2
c=4a+2
f(x)=a(x^2－4x+4)+2=ax^2－4ax+4a+2
有最小值2=>a>0
(A)錯
4a+b=0
(B)錯
c-4a=2
(C)對
b=-4a<0
(D)錯
c=4a+2>2
(E)錯

2.設f(x)為三次實係數多項式，已知2－i為f(x)的一根，下列哪些正確?
(A)f(2+i)=0
(B)f(3+4i)不等於0
(C)f(x)被x^2－4x+5整除
(D)f(x)為奇函數
(E)y=f(x)之圖形與x軸恰有一個交點
Sol
x=2－i
(A)對
x－2=－i
x^2－4x+4=－1
x^2－4x+5=0
(C)對
f(x)=(x－p)(x^2－4x+5)=x^3+(－4－p)x^2+(5+4p)x－5p
f(－x)=－x^3+(－4－p)x^2－(5+4p)x－5p
f(x)+f(－x)=(－8－2p^2)x－10p
(D)錯
f(x)有1實根2虛根
(B)對
(E)對

4 多項式f(x)(x－2)除以x^2+x+1的餘式為5x+4，則f(x)除以x^2+x+1的餘式為?
Sol
設f(x)=q(x)+(x^2+x+1)+ax+b
(x－2)f(x)=[(x－2)q(x)](x^2+x+1)+(ax+b)(x－2)
=[(x－2)q(x)](x^2+x+1)+[ax^2+(b－2a)x－2b]
=[(x－2)q(x)](x^2+x+1)+a(x^2+x+1)+(b－3a)x+(－a－2b)
So
b－3a=5
－a－2b=4
a=－2，b=－1
餘式=－2x－1

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TS777.CC

1.
a>0 => 4a-c>0......(2)
...
c<4a......by Eq.(2)
首先 c < 4a 不能判定 "c < 2" 是否正確
再則 (C)c-4a>0 是對的
當然 (E)c<2 是錯的
祇是 需要另外的解釋法

3.
(a,b)=(-1/7,-49)......ans
不知道答題者是否有在看題目
"...整係數方程式..."