國中數學圓

圖片參考：https://s.yimg.com/rk/AC09299269/o/383654183.png

因為 50^2 + 120^2 = 130^2
所以此三角形為直角三角形
90度 =∠CAB + ∠ACB = 2a+2c
故 a+c = 45度
a+b = 90度 , c+d = 90度
所以 a+b+c+d = 180度
b+d = (a+b+c+d) - (a+c) = 180度 - 45度 = 135度

( 扇形GDH + 扇形NFP + 扇形KEM ) 角度總合
= 2b + 2d + 90度
= 2(b+d) + 90度
= 2*135度 + 90度
= 360度

( 扇形GDH + 扇形NFP + 扇形KEM ) 面積總合
= π* 2^2
= 4π

tan∠CAB = 120 / 50 = 12 / 5
tan ( 2a ) = 12 / 5
由倍角公式 tan ( 2a ) = 2 tan a / ( 1 - tan^2 a )
並令 tan a = x , 可得:
12 / 5 = 2x / ( 1 - x^2 )
10x = 12 - 12x^2
12x^2 + 10x -12 = 0
6x^2 + 5x - 6 = (2x+3)(3x-2) = 0
x = 2/3 , -3/2(不合)
故 tan a = DH / AH = 2/3
AH = 3*DH / 2 = 3*2 / 2 = 3
ΔADH 面積 = AH*DH / 2 = 3*2 / 2 = 3

仿照以上方法,再計算ΔCPF 面積:
tan∠ACB = 50 / 120 = 5 / 12
tan ( 2c ) = 5 / 12
由倍角公式 tan ( 2c ) = 2 tan c / ( 1 - tan^2 c )
並令 tan c = y , 可得:
5 / 12 = 2y / ( 1 - y^2 )
24y = 5 - 5y^2
5y^2 + 24y -5 = 0
(5y-1)(y+5) = 0
y = 1/5 , -5(不合)
故 tan c = PF / CP = 1/5
CP = 5*PF = 5*2 = 10
ΔCPF 面積 = CP*PF / 2 = 10*2 / 2 = 10

此圓無法滾動到的死角面積
= 2*ΔADH 面積 + 2*ΔCPF 面積 + 正方形EKBM面積
- ( 扇形GDH + 扇形NFP + 扇形KEM ) 面積總合
= 2*3 + 2*10 + 2*2 - 4π
= 30 - 4π
Ans: 30 - 4π 平方公分


2014-11-07 18:29:48 補充：
方法二 :
當ΔABC等比例逐漸縮小,但圓半徑不變,
則所求面積仍然會相同(因為三個夾角皆不變).
為簡化計算,將ΔABC等比例縮小到極限,
此時M,H重合; P,K也重合,
即D,E,F三點重合,
也就是上圖的三個圓重合,且此圓恰為ΔABC之內心.
設此時ΔABC之三邊長為 5k, 12k, 30k ,其中 k > 0 .
ΔABC之面積 = 5k*12k / 2 = 5k*2/2 + 12k*2/2 + 13k*2/2
30k^2 = 30k
k^2 = k
k(k-1) = 0
k = 1 , 0(不合)
故三邊長為5,12,13

2014-11-07 18:35:02 補充：
此圓無法滾動到的死角面積
= ΔABC等比例縮小到極限之面積 - 圓面積
= 5*12/2 - π*2^2
= 30 - 4π
Ans: 30 - 4π 平方公分

註: 方法二參考自意見欄JJ大師之提示.

2014-11-07 18:37:44 補充：
抱歉,有一行打錯了:
設此時ΔABC之三邊長為 5k, 12k, 30k ,其中 k > 0 .
其中 30k 應更正為 13k

2014-11-07 18:51:28 補充：
ΔABC等比例縮小到極限之圖檔,請參考:
http://imgur.com/yFVSD4I

由於我希望你用我解題時畫的圖型，所以請拿一張吸水性不差的計算紙、一隻色筆和一支鉛筆或自動筆出來，不要太小，因為要畫圖又要計算。

(以下如果怕畫不好就先拿鉛筆畫，再用色筆描上去，然後擦掉鉛筆的痕跡)
拿色筆畫一個直角三角形ABC，約手掌一半大小，其中：
左邊的線段AB長50，下面的線段BC長120，上面的斜邊AC長130。

比例5:12:13大致抓一下。不用標記單位，只要數字，因為待會兒計算時的數字，單位都是公分，所以算出答案後再補上就行了。

分別在頂點A、B、C往三角形內部勉強畫一個卡住的小圓，半徑都是2，再分別標記圓心為A'、B'、C'，分別針對每一個圓心做同一種事情：連接圓心與那塊區域的三角形頂點、分別往離圓心最近的三角形兩個邊做小垂線，垂點分別標記為A1和A2、B1和B2、C1和C2。於是分割出來的六個小三角形面積和= 死角區域面積 + 三個扇形面積和，意即：

所求= 死角區域面積 = 六個小三角形面積和 - 三個扇形面積和。

接著請繼續標記∠AA'A1=∠AA'A2=∠1、∠BB'B1=∠BB'B2=∠2、∠CC'C1=∠CC'C2=∠3，請從A開始逆時針標出An~Cn。此時：三個四邊形AA1A'A2、BB1B'B2、CC1C'C2內角和的和 = 六個小三角形內角和的和，所以：
3(360°) = (∠A+90°+2∠1+90°) + (∠B+90°+2∠2+90°) + (∠C+90°+2∠3+90°)
12(90°) = (∠A+∠B+∠C) + 6(90°) + 2(∠1+∠2+∠3)

由於△ABC內角和∠A+∠B+∠C =180°=2(90°)
所以三個扇形圓心角的和2(∠1+∠2+∠3) = (12-2-6)90° =360°
那麼三個扇形面積和就相當於一個小圓的面積，意即：

死角區域面積 = 六個小三角形面積和 - 一個小圓面積 = 六個小三角形面積和 - 4π

請不厭其煩地繼續標記AA1=AA2=a、CC1=CC2=c
六個小三角形面積和 = △AA1A'+△AA2A'+△BB1B'+△BB2B'+△CC1C'+△CC2C'
= 2a + 2b + 2c

由於△ABC就是邊長比為5:12:13的直角三角形，加上我設定AC是斜邊故∠B為直角，所以b相當於小圓的半徑2，則：
六個小三角形面積和 = = 2a + 2b + 2c = 2(a+c+2)，於是：

所求= 死角區域面積 = 六個小三角形面積和 - 4π = 2(a+c+2) - 4π

請再將三個圓心之間的線段連接起來，這三條線段形成△A'B'C'，線段A'B'、B'C'、A'C' = A1B1、B2C1、C2A2 = 50-a-b、120-b-c、130-a-c = 48-a、118-c、130-a-c。由於△A'B'C'~△ABC(用AA相似證明，再補充)，所以：
AB:A'B' = BC:B'C' = AC:A'C'
AB:BC:AC = A'C':B'C':A'C'
5:12:13 = (48-a):(118-c):(130-a-c)

令48-a、118-c、130-a-c分別為5k、12k、13k，於是得到聯立方程式

48-a = 5k
118-c = 12k
130-a-c = 13k

由式一和式二分別得a= 48-5k 和c= 118-12k，代入式三得：
13k= 130-a-c = 130 -(48-5k) -(118-12k)
(5+12-13)k = (-130+48+118)，k=9

所求= 2(a+c+2) - 4π
= 2[ (48-5k) + (118-12k) +2 ] - 4π
= 2(168-17k)- 4π
=30- 4π

2014-11-08 11:17:38 補充：
四邊形AA1A'A2的內角和360°= ∠BAC +90° +∠A1A'A2 +90°
圓A的圓心角360°= ∠B'A'C' +∠A1A'A2 +90°

所以∠BAC=∠B'A'C'
同理∠ABC=∠A'B'C'
於是由AA相似知△ABC~△A'B'C。

提示: 5-12-13 三角形面積 - π*2*2