三角形內心坐標

三角形三內角的平分線交於一點，此點稱為此三角形的內心

方法1
利用內心到三邊距離相等(可由AAS全等得知)
先求出三角形任三邊方程式
如AB方程式 (y-1)/(x-7) =(5-1)/(-1-7)
x+2y-9 =0
BC方程式 (y-1)/(x-7)=(-3-1)/(5-7)
2x-y-13=0
AC方程式 (y-5)/(x+1)=(-3-5)/(5+1)
4x-3y+19=0
內心(xi,yi)到AB距離= 內心(x,y)到BC距離= 內心(x,y)到AC距離
│xi+2yi-9│/√5= │2xi-yi-13│/ √5=│4xi-3yi+19│/5
聯立 可得內心(xi,yi)

方法2
連接頂點A與內心，並延長交BC邊於D點
=> ∠BAD=∠CAD = ∠A/2
∠ADB+∠ADC=180∘

對△ABD，使用正弦定理ˇ
BD/sin ∠BAD = AB/sin ∠ADB ...............(1式)
對△ACD，使用正弦定理ˇ
CD/sin ∠CAD = AC/sin ∠ADC
=AC/sin (180∘－∠ADC)=AC/sin ∠ADB....(2式)

.(1式)/(2式) BD/CD= AB/AC =>BD: CD =AB : AC = c:b
(AB長為c, AC長為b)
=> D坐標= B坐標*b/(b+c) + C坐標 *c/(b+c)

連接B與內心Ｉ ,再次使用正弦定理，可得AI:DI =AB: DB = b+c : a
(BC長為a)
=> I坐標= A坐標*a/(a+b+c) + D坐標 *(b+c)/(a+b+c)

2014-10-23 20:25:38 補充：
三角形的三條中線（頂點和對邊的中點的連線）交點，此點為重心...

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sol :

只要求出【兩條線的方程式】求【兩線交點】就可以了

step 1 : 求【AB中點】與【C點】之方程式

AB中點 = (　(-1+7)/2 , (5+1)/2 ) = ( 3 ,3 )

方程式 → (-3-3)/(5-3) = (y-3)/(x-3) → 2x + y = 9......................(1)

step 2 : 求【AC中點】與【B點】之方程式

AC中點 = (　(-1+5)/2 , (5-3)/2 ) = ( 2 ,1 )

方程式 → (1-1)/(7-2) = (y-1)/(x-2) → y = 1..............................(2)


(1)(2)聯立得 → x = 4；y = 1

故形心座標為(4,1)

　　　　　　Ａ


　　　　Ｉ

Ｂ　　Ｄ　　　　Ｃ

先利用AB+AC+內分比性質+分點公式，找出D點坐標
再利用AB+BD+內分比性質+分點公式，找出I點坐標