國中數學 平方數應用

sol：

假設個位數為x；十位數為10y，故此題解(x+10y)^2。

(x+10y)^2 = x^2 + 20xy + 100y^2

由上可以知道結果之十位數值與【 100y^2 】完全無關
　　　　　　　　　　　　(因不論y等於多少，都是百位數以上的)

再仔細看一下，當x = 0~3時
　　　結果之十位數值，全部僅與【 20xy 】
　　　　　　　　　　　　(因不論x^2最大等於9，也是個位數)

當x = 3~9時
　　　結果之十位數值，與【 x^2 + 20xy 】

--------------------------------------------------------------------------------------------------
故

x = 0，20xy → 0 → 十位數皆為0

x = 1，20xy → 20y → 十位數皆為偶數

x = 2，20xy → 40y → 十位數皆為偶數

x = 3，20xy → 60y → 十位數皆為偶數

x = 4，x^2 + 20xy → 16 + 80y → 十位數皆為奇數.................***

x = 5，x^2 + 20xy → 25 + 100y → 十位數皆為偶數

x = 6，x^2 + 20xy → 36 + 120y → 十位數皆為奇數...............***

x = 7，x^2 + 20xy → 49 + 140y → 十位數皆為偶數

x = 8，x^2 + 20xy → 64 + 160y → 十位數皆為偶數

x = 9，x^2 + 20xy → 81 + 180y → 十位數皆為偶數

所以

結果之十位數為奇數總共有

4^2、14^2、24^2、....、94^2

6^2、16^2、36^2、....、86^2

總共18個。

2014-10-16 11:06:03 補充：
補充：

4^2、14^2、24^2、....、94^2 → 有10個

6^2、16^2、36^2、....、86^2 → 有9個

所以19個。

昨晚頭有點痛...算錯>

先假設未知數為 (10X+Y)^2 去討論 其中 X=0~9 Y=0~9 均為整數, 其次進行 分析

(10X+Y)^2=100X^2+20X*Y+Y^2 此時將分成 X=0 及 X 不為零進行討論

(1) X=0 => (10X+Y)^2= Y^2 Y=1~9 , 從 1^2, 2^2 ..., 9^2 可知 Y=4,6 符合所求
所以 1^2 ~ 9^2 中僅有 4^2, 6^2 讓 十位數為奇數 ( 共 2 個)
(2) X不為零 => 100X^2+20X*Y+Y^2 100X^2 大於或等於100 不干擾十位數, 所以
只要 討論 20X*Y+Y^2 即可, 但由奇偶數相加性質 偶+奇=奇可得知 因20X*Y 為 偶 數 => 問題 可簡化成求 Y^2 十位數為奇數的數即可, 所以,讓 Y^2 十位數為奇 數的 有 4, 6 但 X 則不受限制 (因 20X*Y 是偶數 ) 整理一下
Y=4 , X=1,2,3,4,5,6,7,8,9 ( 共 9 個 )
Y=6 , X=1,2,3,4,5,6,7,8 ( 共 8 個 )

(1)+(2) = 2+9+8=19 ( 共 19 個 )

TO樓主：A=a^2, 當A的個位數字是6時, a的個位數字可以是6, 也可以是4喔！

2014-10-15 20:42:53 補充：
TO樓主：而且答案是19個

04，14～94（10個）

06，16～86（9個）