奧數題目(二)

題目可以看出來，A、C必不等於0，且因A×C=F，表示A、C必不等於1

而題又說明，A~F皆屬於0~5之數字，故A、C組合僅有6組可能，如下：

　　　　　A　C　F
（１）　　2　5　10
（２）　　3　4　12
（３）　　4　3　12
（４）　　4　5　20
（５）　　5　2　10
（６）　　5　4　20

並由上組合可發現F必為0或是2，且F有『進位項(可能進1或進2)』

再由題目發現，十位數項 = AB+BC+(進位項(1or2)) = E(百位項)+B

當B=0
　　　十位數項 = A0+0C+(進位項(1 or 2)) = 1 or 2 (即不可能再等於B)

當B=1
　　　十位數項 = A+C+進位項(1 or 2)，僅只有(4)、(6)成立

當B=2，(1、5選項不成立)
　　　十位數項 = 2(A+C)+進位項(1 or 2)，皆不成立

當B=3，(2、3選項不成立)
　　　十位數項 = 3(A+C)+進位項(1 or 2)，皆不成立

當B=3，(2、3選項不成立)
　　　十位數項 = 3(A+C)+進位項(1 or 2)，皆不成立

當B=4，(2、6選項不成立)
　　　十位數項 = 4(A+C)+進位項(1 or 2)，皆不成立

當B=5，(2、3選項不成立)
　　　十位數項 = 5(A+C)+進位項(1 or 2)，皆不成立

在這可以確定A or C= 4 or 5，且B=1

故為514×415=213310

即，A+B+C = 5+1+4 = 4+1+5 = 10

ABC x CBA＝DBEEBF因每個字母只代表 0 至 5 的不同數字，所以 A x C 的十位數是 D，個位數是 F。所以 A x C＝C x A 只有三個可能：(1) (A, C) 是 (2, 5)，D＝1，F＝0，即 (B, E) 是 (3, 4)。235 x 532＝125020 ⋯⋯ 不合245 x 542＝132790 ⋯⋯ 不合
(2) (A, C) 是 (3, 4)，D＝1，F＝2，即 (B, E) 是 (0, 5)。
304 x 403＝122512 ⋯⋯ 不合
354 x 453＝160362 ⋯⋯ 不合
(3) (A, C) 是 (4, 5)，D＝2，F＝0，即 (B, E) 是 (1, 3)。
405 x 504＝204120 ⋯⋯ 不合
415 x 514＝213310 ⋯⋯ 成立
所以，這三位數 ABC 的可能值是 415 或 514，所有可能值之和是 929。