國中數學的題目

1.從1到9選出三個相異的數字a、b、c，1≦a、b、c≦9m = a+b+c組成6個不同的三位整數a---- b---- c a---- c---- b b---- a---- cb---- c---- ac---- a---- bc---- b---- a+------------(2m) (2m) (2m) 其中5個數的和為2929，令第6個數為(abc)6個數的和為 100(2m)+10(2m)+(2m) = 2929 + (100a+10b+c)100(2m-a)+10(2m-b)+(2m-c) = 29292m – a ≦ 302m ≦ 39 2m – b ≦ 3810(2m-b) + (2m-c) < 380 + 38 = 418100(2m-a) > 2929 – 418 = 25112m – a ≧ 262m ≧ 27 18 ≦ 2m-c、22m-b、2m-a ≦ 382m-c = 19 或 29 (1) 若2m-c = 19, 100(2m-a)+10(2m-b) = 2929 – 19 = 29102m-b = 21或 31b – c = -2或 -12(X)100(2m-a) = 2910 – 210 = 2700, 2m – a = 27a –b = -6解得(a,b,c) = (1,7,9)6 數和 = 179 + 197 + 791 + 719 + 917 + 971 = 37743774 – 2929 = 845 (X) (2) 若2m-c = 29,100(2m-a)+10(2m-b) = 2929 – 29 = 29002m-b = 20或 30b – c = 9(X)或 -1100(2m-a) = 2900 – 300 = 2600, 2m – a = 26a –b = 4解得(a,b,c) = (8,4,5)6 數和 = 845 + 854 + 458 + 485 + 548 + 584 = 37743774 – 2929 = 845 6個數的總合是 3774 2.D接任國王，同意者：A、C、EE擔任財務大臣，同意者：A、C、E或D接任國王，同意者：C、D、EA擔任財務大臣，同意者：C、D、E 3.(1)如圖一

圖片參考：https://s.yimg.com/rk/AD09210203/o/1390619108.jpg


(2)一個正方形可分割成4個正方形，將其中一個正方形再分割成4個正方形，可得到7個正方形；重覆將其中一個正方形分割成4個正方形，就可得到10個正方形；如此重覆分割動作，每次都會增加3個正方形，所以一個正方形可分割成不定大小的正方形的個數是n = 4、7、10、13、… 等，故n=3k+1是可以的分割。 (3)將上圖的8個正方形中的一個正方形再分割成4個正方形，可得到11個正方形；再重覆將其中一個正方形分割成4個正方形，可得到14個正方形；如此重覆分割動作，每次都會增加3個正方形，所以一個正方形可分割成的正方形的個數是n = 8、11、14、… 等，故n=3k+2是可以的分割(除了2及5以外)。 (4) 如圖二

圖片參考：https://s.yimg.com/rk/AD09210203/o/1840992429.jpg

(5)如圖三分割成5個正方形，某一邊至少須分兩等分，另一邊則須分割出三個等邊正方形，n + m = 2mn = m又 2m = 3n 矛盾故無法分割。

圖片參考：https://s.yimg.com/rk/AD09210203/o/1842812076.jpg


(6)n = 3k時6、9、12、15、… 等將其中一個正方形分割成4個正方形，可分割成下一個分割數。故只有2、3、5個，無法分割。 4.(1) x(10^n + 1)(2) x(10^9 + 1) = mx^2mx = 10^9 + 1 = 10^9 -10^3 + 10^3 + 1 = 10^3(10^6 – 1) + (10^3 + 1)= 10^3x7x142857 + 7x11x13= 7x(142857x10^3 + 143)m = 7x = 142857143 (3)除得的商為 7 (4)n = 3, x = (10^3 + 1)/7 = 143n = 9, x = (10^9 + 1)/7 = 142857143n = 15, x = (10^15 + 1)/7 = 142857142857143…n = 6m – 3, m ∈ N, x = (10^n + 1)/7 (答案太長, 6. 請看意見)


2014-08-19 20:56:26 補充：
6.
數列：1, a1, a2, … , a15, 17
a1 = (1+a2)/2 + 1
a2 = 2a1 – 3

a2 = (a1+a3)/2 + 1
a3 = 3a1 – 8
…
a4 = 4a1 – 15
a5 = 5a1 – 24

an = na1 –(n^2-1)

a14 = 14a1 – 195
a15 = 15a1 – 224

a15 = (a14+17)/2 + 1

15a1 – 224 = (14a1 – 195 + 17)/2 + 1
a1 = 17

2014-08-19 20:56:48 補充：
數列：1, 17, 31, 43, 53, 61, 67, 71, 73, 73, 71, 67, 61, 53, 43, 31, 17

此數列中最大的數是 73
有9個不同的數值
總合是 1 + 2(17+31+43+53+61+67+71+73) = 833

最佳解的瑕疵...

1. 方法稍嫌麻煩

2. 錯誤的解答
"必須徵得其他三人同意" 意指當事人不得參與表決

3. (3) 要證明 n=2k+2 (不是3k+2) 是可以的分割
(5) 不是"嚴格證明"

4. 全部沒有考慮 r 是完全平方數的情形
例如 r = 25
此時 n = 2, x = 5; 2525 = 101 * 5^2 <> 5 * (10^2 + 1)

第二題(D,E),(D,A)都是錯的，只有(B,D)才是正確。
（D，E）時需要ABC同意，（D，A）時需要BCE同意。

第二題中當B接任國王，D接任財務大臣時，同意者為A、C、E
也可以作為一組解

2014-08-20 18:27:08 補充：
3.(1)
9個正方形亦可將分割成六個正方形的圖形中，選取一較小正方形再分割為四個正方形

2014-08-20 21:46:22 補充：
C大大3.(3)似乎看錯題目囉
原題要求的是證明2k+2