數學科能力競賽 Part15

設直線 y = mx + c 穿過 (1,2) 且與曲線 xy = 1 相交於 P(x1,1/x1) 及 Q(x2,1/x2)2 = m + c==> c = 2 - m即 y = mx + (2 - m), 代入曲線 xy = 1 得x[mx + (2 - m)] = 1mx^2 + (2 - m)x - 1 = 0即 x1 + x2 = (m - 2)/m 及 x1x2 = -1/m
PQ^2 = (x1 - x2)^2 + (1/x1 - 1/x2)^2= (x1 - x2)^2 + (x2 - x1)^2 / (x1x2)^2= (m^2 + 1)(x1 - x2)^2= (m^2 + 1)[(x1 + x2)^2 - 4x1x2]= (m^2 + 1)[(m - 2)^2 + 4m]/m^2= (m^2 + 1)(m^2 + 4)/m^2= 5 + m^2 + 4/m^2>= 5 + 2(m)(2/m) ....... (a^2 + b^2 >= 2ab, AM >= GM)= 5 + 4= 9
所以 PQ >= 3, 即 PQ 的最小值是 3。

到下面的網址看看吧

▶▶http://candy5660601.pixnet.net/blog

解答在這答案
http://fish7750601.pixnet.net/blog








馫刕驫飝掱灥

Sol
設 y－2=m(x－1)
y=2+mx－m
1=xy=x(2+mx－m)=mx^2+(2－m)x
mx^2+(2－m)x－1=0
設兩根為(a，b)
a+b=－(2－m)/m=1－2/m
ab=－1/m
1/a+1/b=(a+b)/(ab)=(1－2/m)/(－1/m)=2－m

2014-06-04 16:56:15 補充：
兩交點P(a，1/a)，Q(b，1/b)
PQ^2
=(a－b)^2+(1/a－1/b)^2
=(a+b)^2－4ab+(1/a+1/b)^2－4/(ab)
=(1－2/m)^2+4/m+(2－m)^2+4m
=(4/m^2－4/m+1)+4m+(m^2－4m+4)+4m
=(m^2+4/m^2)+5
>=2√[m^2*(4/m^2)]+5
=2*2+5
=9
PQ最小值=

沒有證明的論述(由繪圖可以得知)均不可取
提示: 版大原本的計算是對的
可是後面的部分看不到
不知那裡計算錯誤
答案為 3 (m = √2)

由繪圖可以得知: min=(1,2)通過原點走對稱路線AO line: y=2x=1/x => x^2=1/2獲得: x=+-1/√2 => y=1/x=+-√2=> P=(1/√2,√2), Q=(-1/√2,-√2)PQ^2=(1/√2+1/√2)^2+(√2+√2)^2=(√2)^2+4*(√2)^2=2+4*2=10=> PQ=√10......ans


2014-06-01 17:44:23 補充：
此時PQ=對稱軸
其他路線離對稱軸越遠
則路線越長

y=m(x-1)+2
x(m(x-1)+2)=1
mx^2 + (2-m)x – 1 = 0
令兩根 x1, x2
X1 + x2 = (m-2)/m
X1x2 = -1/m

兩交點P(x1,y1), Q(x2,y2)

PQ^2 =(x1-x2)^2 + (y1-y2)^2

(y1-y2) = m(x1-x2)

PQ^2 =m^2(x1-x2)^2
(x1-x2)^2 = (x1+x2)^2 – 4x1x2 = (m-2)^2/m^2 +4/m
PQ^2 = (m-2)^2 +4m = m^2 + 4

PQ =√(m^2 +4) >= 2

2014-06-01 20:21:49 補充：
修正

PQ^2 =(x1-x2)^2 + (y1-y2)^2

(y1-y2) = m(x1-x2)

PQ^2 =(m^2+1)(x1-x2)^2
(x1-x2)^2 = (x1+x2)^2 – 4x1x2 = (m-2)^2/m^2 +4/m
PQ^2 =(m^2+1)((m^2+4)/m^2)= (m + 1/m)(m+4/m) >= (2 x1)(2x2) = 8

PQ min = 2√2

2014-06-01 20:57:39 補充：
再修正
PQ^2 =(m^2+1)(x1-x2)^2
(x1-x2)^2 = (x1+x2)^2 – 4x1x2 = (m-2)^2/m^2 +4/m
PQ^2 =(m^2+1)((m^2+4)/m^2) =k >=4

m^4 + (5-k)m^2 + 4 = 0
(5-k)^2 -16 >=0
5-k >=4 or 5-k <= -4
K <= 1 or k >= 9

PQ >=3