設x為實數,若方程式絕對值(x^2-4)=2x+k有兩相異實

作以下二圖:

y = |x²-4| (對稱y軸)

y = 2x+k

考慮 k 值變動時，二圖的交點數，就很簡明了。

2014-03-12 12:40:14 補充：
原題可考慮為 (a) y = |x²-4|- 2x 與 y = k 之交點，或 (b) y = |x²-4| 與 y = 2x+k 之交點，都不太複雜 [但(a)不必用到切線斜率知識]。
(a) 三個極大，極小點為 (2,-4),(-1,5)與(-2,4) [注意本題 x²-4<0 這段含極大值，若係數更改則不一定成立]。所求為二個交點之k的範圍，由圖解知 -4 < k < 4 or 5 < k

2014-03-12 12:40:36 補充：
(承上)

(b) y = |x²-4| 之圖形對稱 y 軸(類似 W 型)，與坐標軸交點 (2,0),(0,4),(-2,0) (注意:後二點連線斜率為2)，y=2x+k 表斜率為2之直線組。由右下開始，當它通過 (2,0) 時開始與曲線有交點 [此時k=-4，又曲線在(2,0)右側附近的切線斜率>2]，當它通過(0,4)與(-2,0)時開始與上述曲線有三個以上交點(此時k=4)直至相切處(此時k=5)，之後皆為二個交點，故k的範圍為 -4 < k < 4 or 5 < k

2014-03-12 12:43:52 補充：
我想題意"有兩相異實根"應是指"恰有兩相異實根"的意思(雖然似乎有語病)，所以排除三與四個交點的情形。

2014-03-13 00:07:10 補充：
先考慮一下要用代數還是解析幾何的方法。容易想到討論絕對值內的正負性來脫掉絕對值，再用代數解；然而一來要分配解的個數於正負區，二來解必須落在某(討論絕對值內的正負時的)範圍，這樣就知道用代數解蠻複雜的。又因原題圖形簡單，所以決定用解析幾何的方法。
原題可考慮為(a) y = |x²-4|- 2x 與 y = k 之交點，或(b) y = |x²-4| 與 y = 2x+k 之交點。這兩種圖形都不太複雜，但(a)不必用到切線斜率知識，於本題較簡易。
(a) y = |x²-4|- 2x 的圖形為 2 個"部分拋物線"之聯集:
x > = 2 或 x < = -2，y = x²-4-2x (開口向上，不含頂點)
-2 < x < 2，y = 4-x²-2x (開口向下，包含頂點)
由圖知，三個極大，極小點為 (2,-4),(-1,5)與(-2,4)。所求為二個交點之k的範圍，圖解知 -4 < k < 4 or k > 5。
(注意:"部分拋物線"是否含頂點將影響結果，作簡圖時務必確認)
(b) y = |x²-4| 之圖形可由 x>=0,y = x²-> 下移-> 掛絕對值-> 對 y 軸對稱，而畫出(類似 W 型)。
其與坐標軸交點 (2,0),(0,4),(-2,0) (注意:後二點連線斜率為2)
y = 2x+k 表斜率為2之直線組。
由右下往左上移動，當 y = 2x+k 通過 (2,0) 時開始與 y = |x²-4|有交點 [此時k=-4，又曲線在(2,0)右側附近的切線斜率>2，因此之前不會先接觸]；當它通過(0,4)與(-2,0)時開始與 y = |x²-4|有三個以上交點(此時k=4)直至相切處(此時k=5)，之後皆為二個交點。
故k的範圍為 -4 < k < 4 or k > 5。

cefpirome大大:
可以請你再說明清楚一點嗎?
還有若有3個交點,算不算符合題意?

2014-03-12 14:29:07 補充：
謝謝,可否移到回答區,才可選為最佳解答

提示: -4 < k < 4 or 5 < k

Read:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D%7Cx%C2%B2-4%7C-2x

Have some hints now?

(◕‿◕✿)

設x=實數,方程式|(x^2-4)|=2x+k有兩相異實根,k=?範圍?Ans:(1) 如果x^2>=4 => x>=2, x<=-2x^2-2x-(k+4)=0 => x=1+-√(k+5)x>=2 => √(k+5)>=1k+5>=1 => k>=4D=判別式=k+5>0 => k>-5兩者合併: k>4
or x<=-2 => 1-√(k+5)<=-2 3<=√(k+5) => 9<=(k+5) => k>=4兩者合併: k>=4......(a)
(2) 如果x^2<4 => -2<x<2x^2+2x+(k-4)=0 => x=-1+-√(5-k)x<2 => √(5-k)<35-k<9 => k>-4D=√(5-k)>0 => k<5......(1)兩者合併: -4<k<5
or x=>-2 => 1>√(5-k)1>5-k => k>4......(2)(1),(2): 4<k<5兩者合併: 4<k<5.....(b)
(a),(b): 4<k<5.....ans



2014-03-11 07:01:50 補充：
答案漏掉更新:

5>k>=4.....ans

x>0
==> x^2-4=2x+k
==>x^2-2x-4-k=0

D=4-4(-4-k)>0
==>k>-5