微積分delta-episolon的問題 贈20點

"我算到一個地方時會使用一個技巧,就是令 δ為一個常數"

我想你所說的這個 δ 不是
"for any ε>0，there is δ>0 such that ..."
的那個 δ. 通常在寫證明的時候不會寫 δ, 而是取 δ1 或 δ0
之類, 也可以換個符號以免自己都搞混了.


就本例而言, 取 δ1 = 1 並不是很好, 因為 x-1 = 0. 雖然 |x-1|<1
保證了 x>0, 但或許需要的不只是 x>0, 而是 x≧k>0, 數學上
來說是 "x 遠離 0". 所以令師說取 δ1=1/2, 這是一個不錯的選擇,
它使得 x>1/2>0.


要證
for any ε>0 there exists a δ>0 such that:
whenever 0<|x-1|<δ we have |1/x -1|<ε.
首先, 看目標 |1/x - 1| < ε, 它相當於 |1-x|/|x| < ε, 也相當於
|x-1| < ε．|x|. 但 x 是可變動的, 因此需要限制它的變化範圍.

若 |x| ≧ k, 那麼, 當 |x-1|<kε 時, 當然就得到
|x-1| < kε ≦ ε．|x|
也就是保證 |1/x -1| < ε.


所以, 你可以看出, 限制 |x-1|<1 是不夠的, 要限制得更窄小一
些, 如果取 |x-1|<1/2, 就保證了 |x-1|>1/2, 也就是前面討論中
的 k 可以取 1/2.


這裡還有一點是你必須理解的, 那就是: 因為我們看的是 x 在
1 鄰近時的現象, 因此可以任意限制看的範圍 (只要這個範圍
不是虛無的). 所以才能預先限制 |x-1|<δ1 以方便後面的工作.
當然, 最後根據 ε 找到的 δ, 也必須小於 δ1, 所以證明的最後
取的 δ 是 min{kε,δ1}, 以 δ1=1/2 為例, 就是 δ=min{ε/2,1/2}.




2014-01-17 11:18:50 補充：
修正: 倒數第2段中間:
"如果取 |x-1| < 1/2, 就保證了 |x-1| > 1/2..."
應更正為 "如果取 |x-1| < 1/2, 就保證了 x > 1/2..."


說得清楚些為什麼取 |x-1| < 1 不夠:
只保證 x > 0 時, 並無法由 |x-1| < ε．|x| 並取適當 δ 讓 |x-1| < δ 而保證
|1/x -1| < ε; 但若 x > k > 0 則可.

為甚麼不能碰到 0? 因為 1/0 沒有意義。如果樓主只問這個，那就回答完了XD

不過，你會這樣問代表你尚未理解 epsilon-delta definition，
建議你畫幾個不連續函數來試試看，為何不連續函數不會符合
「for any ε>0，there is δ>0 such that |f(x)-L|<ε whenever 0<|x-a|<δ」
祝你豁然開朗。
我等級是初學者沒辦法在解答畫給你。

Delta 是針對 epsilon 給的，所以一開始就先給定 delta，雖然比較好算，不過初學者不懂自己在做什麼。讓我從頭講給你聽。

極限是什麼呢？當我希望 f(x) 與 1 的誤差不要超過 epsilon，我只要在 x=1 的左右一點點取值即可。

這個左右一點點是多少我們希望能給出來。如果針對所有 epsilon 都給的出來，我們就說 f 在 x=1 連續，並且把這個左右一點點叫做 delta。

那麼你們老師在做的算式，是在幹嘛呢？

針對 epsilon 找 delta 有點麻煩，不如我們在 x=1 以 delta 的幅度左右晃動一下，看它的 f(x) 會晃動多少，可以推測 delta 與 epsilon 的關係。

當我左右晃動 1/2 的時候，看到 f(x) 在 y=2 到 y=2/3 變動，也就是 f(x) 值最多會在 y=1 上下 1 的範圍遊走。

這麼說來，當我們晃動 delta 的幅度的時候，y 值就會在
1/(1-delta) ~ 1/(1+delta)
附近遊走，也就是說，與 y=1 的差距最多是
1/(1-delta) - 1
這就稱為 epsilon。

我們有了 delta 到 epsilon 的關係，那麼是否對於所有夠小的 epsilon 都給的出 delta 呢?

把剛才的式子 1/(1-delta) -1 = epsilon 移項改寫，可以發現
delta = 1 - 1/(1+epsilon)，
所以對於所有 epsilon，都可以找的到 delta。

2014-01-17 03:00:04 補充：
如果你讀懂了，我必須要修正我所說的誤差，其實是差距的意思。如果樓主覺得兩個用詞沒差，那也罷了。

2014-01-17 03:02:27 補充：
更正:

這個左右一點點是多少我們希望能給出來。如果針對所有 epsilon 都給的出來，我們就說 f 在 x=1 <<有極限>>，並且把這個左右一點點叫做 delta。

如果 你的老師 "教" 你去 "令 δ為一個常數"
那我會建議你趕快換老師

"令 δ為一個常數,通常我會令它=1"

聽起來有點奇怪,
一般來說, δ 的值都是隨著 ε 而改變,怎麼會令它是常數?