設p,q為質數,且q^3=p^2-p+1,求(p,q)=?

先移項，然後因式分解可以得到
(q-1)(q^2+q+1)=p(p-1)
所以p整除(q-1)(q^2+q+1)
因為p是質數所以只有兩種情況
1.p整除q-1
2.p整除q^2+q+1

第一種情況：設q-1=pk, k為正整數(因為q>1所以k必為正)
那麼代入原式可得p-1=k(q^2+q+1)
將此式中q用pk+1代換並移項後可得k^3*p^2+(3k^2-1)p+3k+1=0
然而等是左邊卻恆>0因為p>0,k>=1 因此矛盾，所以第一種情況無解。

第二種情況：設q^2+q+1=pk k為正整數(因p,q正整數)
代入原式得p-1=k(q-1)
將第一式中p用kq-k+1帶入後得q^2+(1-k^2)q+k^2-k+1=0 (*)式
我們希望這q的二次多項式有一整數解，則由根與係數關係知若它有一整數解，那麼兩根都是整數(兩根之和為k^2-1是整數)
設此兩整數根為a,b
則有a+b=k^2-1, ab=k^2-k+1
但當a,b皆為整數情況，又有a+b=k^2-1時，我們可證出(簡單)ab的最小值取在1*(k^2-2)也就是一個取值1另一個取k^2-2時。
所以我們必須要有k^2-k+1>=k^2-2
解得k<=3 所以1<=k<=3，剩下3種情況討論

1.k=1 帶入(*)式
得q^2+1=0 無解
2.k=2 帶入(*)式
得q^2-3q+3=0 無整數解
3.k=3 帶入(*)式
得q^2-8q+7=0 則q=1 or 7
所求q為質數，所以q=7.
再帶回原本題目中得p=19(或用p=kq-k+1)

所以此題唯一解為(p,q)=(19,7)

2013-12-16 14:53:10 補充：
補充
在a+b=k^2-1, ab=k^2-k+1那裏
要先說ab=k(k-1)+1>0 所以我們知a,b同號 再由a+b=k^2-1>=0知a,b皆>0
除去k=1的情況，k^2-2>0
然後才能證此時ab最小值是取1*(k^2-2)

2013-12-17 05:21:05 補充：
q^3-7要可以拆成兩個相乘,則q必為7的倍數
這句話是怎麼來的？

用q=3帶入你也可以得到3^3-7=20=4*5啊
q=5 5^3-7=118=2*59
etc...

2013-12-17 10:29:48 補充：
那麼"q^3-7必定要可以拆成7*[q^3/7-1],也就是要可以提出7,才有辦法湊成兩者相乘"
這句話就是錯的啊，有我舉的例子3^3-7=4*5
之後"(p-3)(p+2)不管p值代多少也不會等於4*5"是對的，可是這兩句完全是獨立的句子啊！
第一句就錯了何以繼續

q^3=p^2-p+1,兩邊同減7

q^3-7=p^2-p-6

=(p-3)(p+2)

我是讓它強迫分解,q^3-7要可以拆成兩個相乘,則q必為7的倍數q=7

不知jj大大的例如是如何得來的?

例如 q^3-7=(p+3)(p-5)

2013-12-17 08:26:17 補充：
q^3-7

=p^2-p-6

=(p-3)(p+2),

題目提到p,q是質數,所以我想到

q^3-7必定要可以拆成7*[q^3/7-1],也就是要可以提出7,才有辦法湊成兩者相乘,

q又是質數,且q^3/7也是正整數,那麼當然可以推得q=7k,且k=1,因此q=7

q^3-7只有兩種形式,[q^3-7]*1,7*[q^3/7-1]

2013-12-17 08:31:05 補充：
To安安:

q^3-7

=(p-3)(p+2),

若q=3代入,

3^3-7不可能等於4*5,因為(p-3)(p+2)不管p值代多少也不會等於4*5

若q=7(質數)代入,

7^3-7

=336

=16*21,(此時p=19也是質數)

2013-12-17 08:34:32 補充：
補充一下

q^3-7若是這種形式

q^3-7

=[q^3-7]*1

=(p+3)(p-2),p=3

=6,此時q^3=13,q^1/3不為整數不合

2013-12-17 12:16:25 補充：
對~我竟然犯了一個簡單的概念

太久沒碰數學了,感謝指正

"q^3-7=(p-3)(p+2),q必為7的倍數"
這句話有問題

例如 q^3-7=(p+3)(p-5)
並不會得到 q = 7

2013-12-17 01:45:56 補充：
我不是說 q^3-7=(p-3)(p+2) 不對
我的意思是 q^3-7=(p-3)(p+2)
不能直接導出 "q必為7的倍數"
(當然 本題剛好是對的)

(19 ， 7)，我只有先用EXCEL跑出這組，你也可以試試看