A 的受刑機率 1/3 是固定的, 不會因為得知 B, C 其中某一人將被赦免
而改變.
這有點像電視猜獎遊戲詭論(或名 "汽車或山羊" 詭論.)
遊戲者在三個箱子中(或三個門, 一門後有獎, 二門後無獎) 選定一個.
而後主持人打開一個無獎的. 如果此時允許遊戲者變更選擇, 他要不
要換另一個盒子(另一個門)?
如果依問題中那樣推論, 換不換都是 1/2. 然而實際上卻不是, 因為原
先選擇的那個, 得獎機率 1/3 不會變, 倒是另一個選擇機率卻變了.
當然, 這條件是主持人確實知道獎在哪裡, 並且故意打開無獎的. 就
像死囚詭論, 回答者是回答 A 以外哪個人將被赦免.
不過, 這個問題歷來每次提出都引發無休止爭論...
下引一篇十餘年前舊文...不知這裡篇幅是否容納得下...
標題: 統計與機率的詭論 --- 死囚詭論
時間: Sun Apr 14 12:27:35 2002人物: "囚" 指某死囚; "牢" 指牢頭牢: 上面有消息到了! 明天你們三人將有一人被處決,
但另兩人將被釋放。囚: .....囚: (悄悄挨近牢頭)
你能不能透露一下誰會被處決的消息?牢: 不行! 這是機密的, 我們奉命不能洩漏!
不過...我可以告訴你會被釋放的人之中
的 "一個" 是誰。
囚: (失望, 但仍好奇)
是誰?牢: 某丙將被釋放。
囚: 喔...
(唉! 那我會被處決的機會就是一半一半囉!)
疑問:
(1) 牢頭沒有洩漏訊息嗎?
(2) 此囚犯被處決的條件機率有因牢頭提供的訊息
而改變嗎?答案是:
牢頭確實洩漏了訊息, 只是對此死囚而言沒有
用 --- 不是因為這死囚被處決的條件機率由
1/3 提高為 1/2; 而是此訊息並不能改變發問
的這位死囚被處決的條件機率。引述前面關於今年台大統計學試題的討論:: 某甲乙丙共同競爭 一個新辦事處的職位
: 董事會決定後 某乙 去問總經理說 誰會留任現值
: 總經理告訴乙說 丙會留任現職 乙便粉開心 因為他成了唯二的人選
: 題目一 乙的想法 是否符合統計推論 又董事會規定不得向外透露名單
: ˊ總經理有違反規定嗎
: 題目二 若甲也和乙一樣問總經理相同的問題 總經理該怎樣回答
: 才不會有透露名單之慮......
: 總共 14分
這是 "死囚詭論" 的變形。但題目的描述不大適當,
"誰會留任現值"? 應是請總經理透露一個留任現職的
人選。如果 "規定" 是確定性的, 透露的資料不完整, 當然
不違反規定; 如果 "規定" 指的是不能透露有關名單
的訊息, 則明言丙會留任現職, 這已改變了機率空間
了!其實這有點像電視猜獎遊戲詭論 --- 主持人打開了一
個沒有獎 (或僅有小獎) 的門, 則遊戲者獲知了一些
訊息。只是, 在電視猜獎問題, 遊戲者先選了一個門,
主持人再打開一個沒獎的; 而在這裡, 遊戲者(某乙)
似乎並未先選一個門? 但實際上, 他是選了自己了!
因為所獲得的回答不可能是 "乙", 就像主持人不可能
去打開遊戲者所選那個門再來問要不要換。所以, 以
電視猜獎詭論的解答來看這個問題, 乙沒甚麼好高興
的, 他只是替另一個人問到了中獎的訊息: 在機會原
本均等的假設下, 確定了 "丙" 會留任現職, 則甲爭
取成功的條件機率是 2/3 (乙 1/3 不變)。以 Neyman-Pearson 檢定而言, 參數空間有三點: 甲,
乙, 丙, 為新職人選。總經理在面對乙的詢問時, 表
面上不透露人選的回答法如下列。
新職: 甲 乙 丙
回答: 丙 甲/丙 甲
因此, 既然回答是 "丙" 會留現職, 則當然只剩兩種
情形。但 N-P 理論的參數 (新職人選) 是固定的, 並
無機率可言。以Bayesian的方法, 就乙的觀點, 若沒
有任何 prior information, 則甲乙丙三人機會各假
設為 1/3; 又假設在有兩個人選可回答時總經回答任
一個的機率各佔一半。則回答 "丙會留任" 後, 可知
乙爭取成功的機率是
(1/2)*(1/3)/[(1*(1/3)+(1/2)*(1/3)+0*(1/3)]
= 1/3
就是前面純機率想法的答案。
2013-08-21 00:38:17 補充：
簡單地說, "1/2" 結論的錯誤在於把機率錯誤地重新配置.
令 樣本空間 = {A, B, C}, 其元素各自表示要被處決者.
若 A 將被處決, 回答 B 或 C 被將被釋放;
若 B 將被處決, 得到回答是 C 將被釋放;
若 C 將被處決, 則回答是 B 將被釋放.
因此, A 獲得的回答對於自己是否將被處決, 並未提供任何訊息.
倒是他可以知道 B 或 C 將被處決的機率提高為 2/3.
2013-08-21 00:51:26 補充：
電視猜獎詭論又名 蒙提霍爾問題.
作者 ttcat0902 (踢踢貓) 看板 logic
標題 Re: [討論] 三門問題
時間 Mon Aug 7 06:26:07 2006
蒙提霍爾問題
維基百科，自由的百科全書
蒙提霍爾問題，亦稱為蒙特霍問題或三門問題（英文：Monty Hall problem），是一
個源自博弈論的數學遊戲問題，大致出自美國的電視遊戲節目 Let's Make a Deal。
問題的名字來自該節目的主持人蒙提·霍爾（Monty Hall）。
2013-08-21 00:52:59 補充：
上引文也提到:
一個實質上完全相同的問題於1959年以「三囚犯問題」（three prisoners problem）
的形式出現在馬丁‧加德納的《數學遊戲》專欄中。葛登能版本的選擇過程敘述得十
分明確，避免了《展示雜誌》版本裏隱含的前提條件。
2013-08-21 00:53:27 補充：
又:
這條問題的首次出現，可能是在1889年約瑟夫·貝特朗所著的
Calcul des probabilités 一書中。 在這本書中，這條問題被稱為「貝特朗箱子悖
論」（Bertrand's Box Paradox）。
2013-08-21 09:25:46 補充：
再用嚴謹的條件機率說明一下吧:
A, B, C 事件分別表示 A, B, C 被處決;
E: 透露 B 將被釋放,
F: 透露 C 將被釋放.
問 P(A|E∪F) = P(A∩(E∪F))/P(E∪F).
實情是: E∪F 一定發生, 所以 A∩(E∪F) = A, 且 P(E∪F) = 1.
故
P(A|E∪F) = P(A)/P(E∪F) = P(A).
這結果甚至用不到 A, B, C 機會均等的假設.
也就是說, 即使三人被釋放的機會不均等, 透露的訊息對
詢問者本身並無影響.
