國二上乘法公式資優題

S=1^2－2^2+3^2－4^2+5^2－6^2+......+2001^2－2002^2+2003^2，求S被200
除的餘數為何?
Sol
1^2－2^2+3^2－4^2+5^2－6^2+......+2001^2－2002^2+2003^2
=(1^2－2^2)+(3^2－4^2)+(5^2－6^2)+......+(2001^2－2002^2)+2003^2
=(－3)+(－7)+(－11)+…+(－4003)+2003^2
=－(3+7+11+…+4003)+2003^2
a1=3，d=4
an=3+(n－1)*4=4003
n=1001
So
S=－(3+4003)*1001/2+2003^2
=－2005003+4012009
=2007006
=1001*2005+1
餘數=1

1. 提示: 分組 平方差公式 則 用 "心算" 即可得 答案 1

2. 題目應該是

1 - 2/[(1)*(1+2)] - 3/[(1+2)*(1+2+3)] - ... - 100/[(1+2+...+99)*(1+2+...+100)]

而且 "念作"
1 減 1x(1+2)分之2 減 (1+2)x(1+2+3)分之3 一直減到 (1+2+...+99)x(1+2+.....100)分之100

答案: 1/5050

S=1^2-2^2+3^2-4平方+5平方-6平方.........2001平方-2002平方+2003平方,求S被2005除的餘數為何?

S= -(1+2+3+4+5+...+2002)+2003^2 =-(2003*1001)+2003^2 = 2003*1002
S(mod2005) = (2005*1002-2*1002)(mod2005)=(2005*1001+1)(mod2005)=1

2013-07-24 19:48:29 補充：
1-(3+4(1+2)+5(1+2+3)+6(1+2+3+4)+.....+100(1+...+98)+101(1+2+...99))/2 = -12748723/2

= =" 好怪.

2013-07-24 21:59:25 補充：
確定第２題都是減嗎? 數字好大...... 我喜歡我第一題的作法:))

2013-07-24 22:52:52 補充：
(1):S=1^2-2^2+3^2-4平方+5平方-6平方.........2001平方-2002平方+2003平方,求S被2005除的餘數為何?

S= -(1+2+3+4+5+...+2002)+2003^2 =-(2003*1001)+2003^2 = 2003*1002
S(mod2005) = (2005*1002-2*1002)(mod2005)=(2005*1001+1)(mod2005)=1



(2):1 - (1+2)/2 - (1+2)(1+2+3)/3 - (1+2+3)(1+2+3+4)/4 - .....- (1+...+99)(1+...+100)/100

此算式可以簡化為 1 - Σ_{k=0 to 99} Σ_{L=1 to k}L * Σ_{L=1 to k+1}L / k+1

但得先知道　1^3+2^3+..+n^3 = (n(n+1)/2)^2 , 1^2+2^2+...+n^2 = n(n+1)(2n+1)/6

=1 - Σ_{k=0 to 99} [k(k+1)/2][(k+1)(k+2)/2(k+1)]
=1 - Σ_{k=0 to 99} [k(k+1)/2][(k+2)/2]
=1 - 1/4 * Σ_{k=0 to 99}k(k+1)(k+2)
=1 - 1/4 * Σ_{k=0 to 99}(k^3+3k^2+2k)
=1 - 1/4 * (99*100/2)^2+3(99*100*199/6)+2(99*100/2)
= -12748723/2

我不知道我寫沒有打錯 , 第一次打這東東"sigma" 　　　如有不懂 , 或著　想知道　３次方　２次方之和的公式　怎麼證出來的　也可以發問　歡迎~

sigma 你可以去網路上找看看 , 如果你沒見過.

2013-07-24 22:53:57 補充：
Σ = sigma

2013-07-24 23:34:25 補充：
第２題　這個資優題　好難.... 的確是資優題... 我簡化成　意見欄那的算法 .. 但　就.... 沒折... 最後用我簡化後的式子給電腦跑一下 , 才得知答案.... 所以.... 　

不過答案這算法　的確人就可以算出來了... 我還太弱... 居然沒想到...

就以答案來看 , 這題考到了 1次方級和公式 , 2次方級和公式 , 3次方級和公式 , 跟列出式子進行簡化. 非常像國中的資優題...

2013-07-24 23:36:19 補充：
我也出個國２的資優題給您吧!

一個３角形ABC , 裡面一個點P , P到頂點A距離是5 , P到頂點B距離是4 , P到頂點C距離是3 , 求３角形ABC的面積？　


這一題　是國２學校老師　給我們的題目 , 我認為算是資優題了 , 你可以考慮寫寫看^ ^

2013-07-25 11:53:12 補充：
沒錯沒錯 , 第一題心算就okay

3^2-4^2=-3-4

10^2-11^2=-10-11

其實是有這規律 , 老師有教吧? 沒教也應該要自己發現...

2013-07-25 12:25:38 補充：
=1 - 2/(1+2) - 3/(1+2)(1+2+3) - 4/(1+2+3)(1+2+3+4) - .....- 100/(1+...+99)(1+...+100)
=1 - Σ_{k=1 to 99}[2/k(k+1)][2(k+1)/(k+1)(k+2)]
=1 - Σ_{k=1 to 99}[2/k(k+1)][2/(k+2)]
=1 - Σ_{k=1 to 99}[4/k(k+1)(k+2)]

然後來看 : 1/k(k+1)-1/(k+1)(k+2) = 2/k(k+1)(k+2) , 所以: 2[1/k(k+1)-1/(k+1)(k+2)] = 4/k()

2013-07-25 12:46:25 補充：
恩恩 這題... 算是一般考卷的題目吧 , 我看過別的學校老師 上課４５分鐘 , 發約類似這種題目 20題 , 下去給學生做 . 所以算....? (一般)教科書 會把這題納入資優挑戰題,但老師就不一定了.... 有些老師很壞,想讓全班死慘慘這發這種考卷. 但我喜歡這種老師ˊˇˋ