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1.若已之f(x)為三次整係數多項式，首項係數為1，若f(x)除以x+1餘2，
除以x－2餘1，且f(x)=0在0與1之間恰有一實根，則f(6)之值為?
Sol
設 f(x)=(x+1)(x－2)(x－6)+a(x+1)(x－2)+b(x+1)+2
f(2)=3b+2=1
b=－1
f(x)=(x+1)(x－2)(x－6)+a(x+1)(x－2)－x+1
f(0)=1*(－2)*(－6)+a(1)(－2)+1=－2a+13
f(1)=(2)*(－1)*(－5)+a(2)(－1)=－2a+10
且f(x)=0在0與1之間恰有一實根
－2a+13>0．－2a+10<0
13>2a，10<2a
5<a<6.5
a=6
f(6)=6*7*4－6+1=163
2.設n為自然數，已知f(x)=log(1/3)_ x，若1，f(x1)，f(x2)，...，f(xn)，3n+4
為等差數列，若將x11化成小數表示之後，在小數點後第a位開始出現
不為0的數字b，求數對(a，b)?
Sol
f(x)=log(1/3)_x=logx/log(1/3)=-logx/log3
1，f(x1)，f(x2)，...，f(xn)，3n+4為等差數列
3n+4=1+(n+2－1)d
d=3
f(x11)=1+(12－1)*3=34
f(x11)=－log(x11)/log3=34
log(x11)=－34log3
x11=1/(3*10^34)
=(10/3)*10^(-35)
a=34，b=3
(a，b)=(34，3)
3.設a為實數，若對所有實數k，方程式x^2+(2k－a)x+3k－2a=0有實根，
則a的範圍?
Sol
D1=(2k－a)^2-4*1*(3k－2a)>=0
4k^2-4ak+a^2－12k+8a>=0
4k^2+k(-4a－12)+(a^2+8a)>=0
D2=(－4a－12)^2－4*4*(a^2+8a)<=0
(a+3)^2－(a^2+8a)<=0
a^2+6a+9－a^2－8a<=0
－2a<=－9
a>=9/2
4.設(1+2x)^n的展開式中，x^2項的係數為an，求1/a2+1/a3+1/a3+...+1/a200
之值為何?
Sol
an=C(n，2)*2^2=4*n*(n－1)/2=2n(n－1)
2/an=1/[n(n－1)]=[n－(n－1)]/[n(n－1)]=1/(n－1)－1/n
2/a2+2/a3+2/a3+...+2/a200
=(1/1－1/2)+(1/2－1/3)+(1/3－1/4)+…..+(1/199－1/200)
=1－1/200
=199/200
1/a2+1/a3+1/a3+...+1/a200=199/400
