弧線長度如何計算

只有三個點，無法完整描述一個曲線函數，只能完整描述一個拋物線，因此我們將此弧長視為拋物線的一部分。

圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AD07982684/o/20130527163226.jpg

令拋物線方程式為 x^2=4c(y-5)
(10,0)代入得c= -5
所以 x^2= -20(y-5)
y=(-1/20)x^2+5
dy/dx=x/(-10)
我們先算弧HB，再乘以2即為弧AB
弧HB=∫(0,10) √[1+(x/(-10))^2] dx =∫(0,10) √[1+(x/10)^2] dx
令x/10=tan u, x=10 tan u, dx=10sec^2 u du,
弧長HB=10∫(0,π/4)sec^3 u du
=10∫(0,π/4)sec u sec^2 u du
(令s=sec u, dt=sec^2u du, ds=sec u tan u du, t=tan u)
=st -∫t ds
=10(sec u tan u - ∫sec u tan^2 u du)
=10(sec u tan u - ∫sec u (sec^2 u-1) du)
=10sec u tan u - 10∫sec^3u du+10∫sec u du
移項得
20∫sec^3u du=10sec u tan u+10∫sec u du
=10sec u tan u+10∫sec u[(sec u tan u)/(sec u tan u)] du
=10sec u tan u+10∫d(sec u tan u)/(sec u tan u)
=10sec u tan u +10 ln│sec u+tan u│+ c (下限0,上限π/4)

而20∫sec^3u du=2*10∫sec^3u du=2*弧HB=弧AB
所以弧AB=10sec u tan u +10 ln│sec u+tan u│+ c (下限0,上限π/4)
=[10*√2*1+10 ln(√2 + 1)] - (0+0)
=10√2 + 10 ln(√2 + 1)
≒14.142+10*ln(2.4142)
≒14.142+8.8137
≒22.9557

沒有確定是屬於何種曲線之前
三點可以是 圓 橢圓 雙曲線 拋物線
則其長度自不相同

我甚至懷疑一般的多項式函數 也會有相同的情形
(還沒有去證明)

假設曲線兩端A ,B兩點間,直線距離為20cm，
線AB的中點線C與圓弧的中點D，
垂直線CD高度為5cm，
那麼A，B兩點間劣弧的長度為何?
Sol
設圓半徑=R，圓心：O
20/2=10
10*10=5*(2R－5)
2R－5=20
R=12.5
Sin∠AOC=10/12.5=0.8
∠AOC=53.13度
劣弧AB=2*π*12.5*(2*53.13/360)=23.18cm