問一題高中數學(空間)

👨🏻‍🏫 學術台數學

[匿名]

2012-12-29 8:57 pm

空間中三點A(-1, 2, 5), B(-2, 1, 2), P(0, b, c),則(PA)^2 + (PB)^2 的最小值為?

ANS: 9

這種題目只遇過最大值(三點共線), 最小值有想過用中線作, 但感覺也解不太出來
想問有什麼好方法嗎? 謝謝
,

更新1:

這一題是指考模擬考的題目詳解是這麼寫的: 2((PA)^2 + (PB)^2) = AB^2 + (2PM)^2 (PA)^2 + (PB)^2 ≧ 1/2 (1+1+9+4x7/4) = 9 題目確認過了並沒有打錯@@ 當初看詳解就不知道他是怎麼確認P點的位置的所以才上來發問現在我知道該怎麼算了，想請問一下詳解是否有寫錯呢? 或是它的思考為何? 謝謝大家>"

回答 (6)

卡賀夫

2012-12-29 11:17 pm

✔ 最佳答案

PA^2 = 1 + (b - 2)^2 + (c - 5)^2 = b^2 - 4b + c^2 - 10c + 30
PB^2 = 4 + (b - 1)^2 + (c - 2)^2 = b^2 - 2b + c^2 - 4c + 9
所以，
PA^2 + PB^2
= 2b^2 - 6b + 2c^2 - 14c + 39
= 2(b^2 - 3b + 2.25) + 2(c^2 - 7c + 12.25) + 39 - 4.5 - 24.5
= 2(b - 1.5)^2 + 2(c - 3.5)^2 + 10
所以 PA^2 + PB^2 的最小值是當 b=1.5 及 c=3.5，這時的值是 10。
Ans : 10
(唔好意思，我計倒 10，不是你寫的 9。)

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用戶39962

2012-12-30 9:38 am

提示:
1. 詳解用中線性質去做可以
但是 (2PM)^2 = 4*9/4
所以解錯了

2. P點為AB中點在平面x=0 的投影點 (需要證明)
所以 P = (0, 3/2, 7/2)

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YJC

2012-12-30 2:56 am

在這裡提供非代數的做法：

把 A點以 X軸為對稱軸對稱過去

(因為 P點的 X座標是 0 )，

可得 A點的對稱點為 A'(1,2,5) ，

然後再把A'B連起來算出長度就行了。

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志融

2012-12-29 11:32 pm

呃，標題是高中數學啊，沒有學到偏微分 XD

所以應該要用002的方式去配方

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myisland8132

2012-12-29 9:54 pm

PA^2 = 1 + (b - 2)^2 + (c - 5)^2PB^2 = 4 + (b - 1)^2 + (c - 2)^2L = PA^2 + PB^2 = 5 + (b - 1)^2 + (b - 2)^2 + (c - 2)^2 + (c - 5)^2令 ∂L/ ∂b 及 ∂L/ ∂c = 02(b - 1) + 2(b - 2) = 02(c - 2) + 2(c - 5) = 0解之得b = 3/2, c = 7/2而 PA^2 + PB^2 = 5 + 1/4 + 1/4 + 9/4 + 9/4= 10

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用戶29860

2012-12-29 9:15 pm

我算10......

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收錄日期: 2021-04-27 17:45:33
原文連結 [永久失效]:
https://hk.answers.yahoo.com/question/index?qid=20121229000016KK01631

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