一些有趣的數學題

1.一個正整數n，符合n^2+4能被n+3整除，請問n有幾個因數?
Sol
(n^2+4)/(n+3)=n－3+13/(n+3)
(n+3)｜13
n+3=1(不合) or n+3=13
n=10
n=10有1，2，5，10共4個正因數
考慮負因數則有8個

2.有一些完全平方數，去掉他的個位和十位數字仍為完全平方數，刪掉的2個
數字不全為0，請問在這些符合條件的數字，最大為多少?
Sol
設 m，n為正整數，[m^2/100]=n^2，m^2=100n^2+10p+q，9>=p，q>=0
m^2－100n^2=10p+q
(m+10n)(m－10n)=10p+q
(m+10n)(m－10n)<100
(1) m－10n=1
m=10n+1
(10n+1+10n)<100
20n+1<100
20n<99
n=0 or n=1 or n=2 or n=3 or n=4
(11) n=0 =>m=1=>[1/100]=0
(12) n=1 =>m=11=>[121/100]=1
(13) n=2 =>m=21=>[441/100]=4
(14) n=3 =>m=31=>[961/100]=9
(15) n=4 =>m=41=>[1681/100]=16
(2) m－10n=2
m=10n+2
(10n+2+10n)<100
20n+2<100
20n<98
n=0 or n=1 or n=2 or n=3 or n=4
(21) n=0 =>m=2=>[4/100]=0
(22) n=1 =>m=12=>[144/100]=1
(23) n=2 =>m=22=>[484/100]=4
(22) n=3 =>m=32=>[1024/100]=10<>9(不合)
………..
So m=41最大
41^2=1681
最大為1681=41^2

第二題提示:
最大為1681 = 41^2

2012-08-26 02:40:22 補充：
(21) n=0 =>m=2=>[4/100]=0
(22) n=1 =>m=12=>[144/100]=1
(23) n=2 =>m=22=>[484/100]=4
(22) n=3 =>m=32=>[1024/100]=10<>9(不合)
………..
So m=41最大

"……….." 指 "回家自己做"?
結果 不太好的解法被廣範地抄襲
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/q