鴿籠原理之應用(2)

把 1 ---- 100 分成如下 50 組(抽屜) :
1) : [1 , 2 , 2² , 2³ , 2⁴ , 2⁵ , 2⁶]
2) : [3 , 3x2 , 3x2² , 3x2³ , 3x2⁴ , 3x2⁵]
3) : [5 , 5x2 , 5x2² , 5x2³ , 5x2⁴]
4) : [7 , 7x2 , 7x2² , 7x2³]
5) : [9 , 9x2 , 9x2² , 9x2³]
6) : [11 , 11x2 , 11x2² , 11x2³]
7) : [13 , 13x2 , 13x2²]
8) : [15 , 15x2 , 15x2²]
9) : [17 , 17x2 , 17x2²]
10) : [19 , 19x2 , 19x2²]
11) : [21 , 21x2 , 21x2²]
12) : [23 , 23x2 , 23x2²]
13) : [25 , 25x2 , 25x2²]
14) : [27 , 27x2]
15) : [29 , 29x2]
16) : [31 , 31x2]
17) : [33 , 33x2]
18) : [35 , 35x2]
19) : [37 , 37x2]
20) : [39 , 39x2]
21) : [41 , 41x2]
22) : [43 , 43x2]
23) : [45 , 45x2]
24) : [47 , 47x2]
25) : [49 , 49x2]
26) : [51]
27) : [53]
28) : [55]
29) : [57]
30) : [59]
31) : [61]
32) : [63]
33) : [65]
34) : [67]
35) : [69]
36) : [71]
37) : [73]
38) : [75]
39) : [77]
40) : [79]
41) : [81]
42) : [83]
43) : [85]
44) : [87]
45) : [89]
46) : [91]
47) : [93]
48) : [95]
49) : [97]
50) : [99]
明顯任何同組的數有倍數關係 , 從 50 組中抽 51 個數 ,
必有 2 個數屬同一組,因此該2數中一個數是另一個數的倍數。
註 :
若抽 50 個數則未必保證找到 , 例如 51 至 100 中沒有一個數是另一個數的倍數。
所以至少取 51 個數 才能保証其中必有一個數是另一個數的倍數。

2012-05-28 23:09:26 補充：
這可不是我想的。

不過可這樣想吧 :
取出51個數 , 就要作50個抽屜 , 使每個抽屜的數都有倍數關係...

注意每一偶數都是某奇數的2倍 , 那麼由50個奇數分別作每一抽屜的第一個,
依次乘上 2 的方幕 , 來表示全體自然數 , 便可不重不漏。

是這樣吧,我已盡力解釋了,解釋不好請勿見怪~~

2012-05-28 23:49:27 補充：
不排除有別的辦法,暫未想到。

是否有別的分組方法可以解這題？
個人意見: 至少有幾百種分組方法

是否存在分組方法，使每一組的成員都一樣多?
就本題言，個人認為不存在

題外話：
怎麼想也想不到這題竟然有那麼多人贊助點數，大家對數學很熱情啊！
(但是第一題完全沒有...)

發展題：從1~1000中的1000個正整數取出501個數，必定能找出互為因數與倍數的兩數。
如果要全寫出各組 恐怕一題就夠了
提示 1:
51 至 100 中沒有一個數是另一個數的倍數。
所以51 至 100都要自成一組
然後把26 ~ 50 塞入

提示 2:
從1~50中的50個正整數取出26個數，必定能找出互為因數與倍數的兩數。