國中數學一問(競賽相關)

假設共有n隊
由題意"每隊總分之半，都是在和最後三名比賽所獲得"
所以前面n-3隊中，每一隊和其他n-4隊互相比賽所得分數=和最後三名比賽所得分數相同；
最後三名和前面n-3隊比賽所得分數=和其他兩隊比賽所得分數相同；
所以有前面n-3隊互相比賽所得"總"分數=前面n-3隊和最後三名所得"總"分數相同。
故有前面n-3隊所得總分數=2*C(n-3,2)*2=2n^2-14n+24
後三名所得總分=2*C(3,2)*2=12
總分數為C(n,2)*2=n(n-1)
2n^2-14n+24+12=n^2-n
n^2-13n+36=0
(n-9)(n-4)=0
n=4不合題意
n=9
舉例

圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AA00640066/o/161111080769113872961880.jpg

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好慘的比賽結果 (10,10,10,10,10,10,4,4,4)
換個成績也許好看些 (12,12,10,10,8,8,6,4,2)

不知道您是否有答案，我目前得到的是若有n隊，則有5≦n≦11……

2011-11-10 21:15:59 補充：
我算錯了，應該是6≦n≦12我的想法是這樣的：一、兩隊比賽一場不論一勝一負或雙方平手，兩隊得分總和必為2分(一勝一負為2+0分，雙方平手為1+1分)二、每隊必和其它(n-1)隊比賽，故n隊共比了n*(n+1)/2場比賽(學過排組就知道會重覆計算，所以除以2)三、由(一)知每場比賽會讓所有隊伍的總分增加2分，故由比賽n*(n+1)/2場知道n隊隊伍經過循環賽後，這n隊隊伍得分總分為n(n+1)分四、令此n隊得分分別為a1、a2、…、an(a1代表第一名分數，以此類推)，則由(三)知有a1+a2+…an=n(n+1)五、由題意：每隊總分的一半，都是在和總排名最後三名的隊伍比賽所獲得的 1、若所有隊伍與最後三名的比賽都獲勝，則有a1/2=3*2、a2/2=3*2…an-3/2=3*2又最後三名的隊伍只能分別與其它兩隊比賽(不能與自己比賽)，所以有an-2/2=2*2、an-1/2=2*2、an/2=2*2此時有(a1+a2+…an)/2=6(n-3)+6*2……(1) 2、若所有隊伍與最後三名的比賽都平手，則有a1/2=3*1、a2/2=3*1…an-3/2=3*1又最後三名的隊伍只能分別與其它兩隊比賽(不能與自己比賽)，所以有an-2/2=2*1、an-1/2=2*1、an/2=2*1此時有(a1+a2+…an)/2=3(n-3)+3*2……(2) 由(1)、(2)可得3(n-3)+3*2≦(a1+a2+…an)/2≦6(n-3)+6*2又已知(a1+a2+…an)/2＝n(n-1)所以6n-6≦n(n-1) ≦12n-12……(3)解(3)式得6≦n≦12



2011-11-10 21:21:56 補充：
其中n=12代表每隊隊伍與最後三名的比賽都獲勝；
n=6代表每隊隊伍與最後三名的比賽都平手

2011-11-10 21:25:52 補充：
打錯了，一、二、三、四點的n(n+1)請改成n(n-1)

還有倒數第3行的
又已知(a1+a2+…an)/2＝n(n-1)
請改成(a1+a2+…an)＝n(n-1)

Sorry~~