知識+沒了以後誰幫我解微積分？

要學習就要多動腦動手, 不要什麼題目都找人解答.

(1) x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)
    用部分分式分解.

(2) x^4+x^2+1 = (x^2+x+1)(x^2-x+1)
    同上.

(3) 三角函數代換: x = tan(θ)

(4) 同上.

(5) 同上.

(6) 三角函數代換: x = sin(θ).
    分母有理化.

(7) 分部積分.

(8) 也是分部積分, 不過稍複雜些. 後面再談.

(9) 有點小技巧:
    先做 t = π/2-x 的變數變換, 變成
    cos(t)/(sin(t)+cos(t)) 的定積分,
    結果答案 1/2 就出來了.

(10) 最基本的想法是三角形代換(又稱半角代換)
     sin(x) = 2z/(1+z^2),
     cos(x) = (1-z^2)/(1+z^2)
     (tan(x) = 2z/(1-z^2) = tan(2z))

(11) sin^(x)+3cos^2(x) = 1+2cos^2(x) = 2+cos(2x)

(12) (1+cos(x))^2 = 4cos^4(x/2).
     分部積分.

(13) 分部積分消除 log.



(8) ∫x e^x sin x cos x dx

首先, 應用分部積分
    ∫e^x sin x cos x dx
      = ∫e^x sin(2x)/2 dx
      = e^x sin(2x)/2 - ∫e^x cos(2x) dx
      = e^x sin(2x)/2 - e^x cos(2x)
          - ∫e^x 2sin(2x) dx
∴ ∫e^x (1/2+2)sin(2x) dx
      = e^x sin(2x)/2 - e^x cos(2x) (+C1)
∴ ∫e^x sin(2x) dx
      = e^x[(1/5)sin(2x)-(2/5)cos(2x)] (+C1)

同樣方法可得
    ∫e^x cos(2x) dx
      = e^x[(1/5)cos(2x)+(2/5)sin(2x)] (+C2)
因此,
   ∫x e^x sin x cos x dx
      = (1/2) ∫x e^x sin(2x) dx
      = (1/2)xe^x[(1/5)sin(2x)-(2/5)cos(2x)]
          - ∫e^x[(1/5)cos(2x)+(2/5)sin(2x)] dx
      = xe^x[(1/1o)sin(2x)-(1/5)cos(2x)]
          - (1/5)e^x[(1/5)cos(2x)+(2/5)sin(2x)]
          - (2/5)e^x[(1/5)sin(2x)-(2/5)cos(2x)]
          + C

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