數學問題（急！！！）?

72 = 8 × 9
能被 72 整除, 必須能被 8 整除且能被 9 整除.

能被 8 整除的充要條件是末3位是 8 的倍數.

能被 9 整除的充要條件是數位和是 9 的倍數,
或任意分節加總結果是 9 的倍數, 或所寫連續數
字和是 9 的倍數.


設寫到 n 能被72整除. 一位數的 n 顯然不可能.


設 n 是2位數, n = p×1o+q, 則組成的數 N 末3
位是
     (q-1)×1oo + p×1o + q
故
    N ≡ (q-1)×1oo + p×1o + q (mod 8)
        ≡ 2p-3q-4 (mod 8)
所以 8 | N iff. 2p-3q-4 ≡ 0 (mod 8)
其中 q 只可能是偶數.又,
    2p-3q-4 ≡ 0 (mod 8)
  iff. p-3(q/2)-2 ≡ (mod 4)
  iff. p ≡ 3(q/2)+2 (mod 4)
所以, 由給定個位數 q 計算十位數 p, 候選的 n
是 20, 52, 84, 46, 68.

但 9 | N, 所以 n 還須滿足
     1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2 是 9 的倍數
因此, n 或 n+1 是 9 的倍數. 但上面所列 5 個
候選的 n 並不符合此條件.


設寫到 n 是 3 位數以上, 則 n 是 8 的倍數, 並
且 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2 是 9 的倍數. 因
此, n 或 n+1 是 9 的倍數.

設 8 | n 且 9 | n, 則 72 | n. 但 72 | n 則 n+1
是奇數. 故 n 必須是 144 的倍數才能保證 8 | n
且 9 | N.

反之, 若 n 是 144 的倍數, N 必是 72 的倍數. 因
末尾(至少3位)是8的倍數, 而所寫數字和 n(n+1)/2
是 72 的倍數.


設 n = 8k, 則
    9 | 8k+1 iff. k ≡ 1 (mod 9)
所以 k = 9m+1, n = 72m+8.

反之, n = 72m+8, m≧2, 則 8 | n 因此 8 | N.
而組成 N 的數字和 n(n+1)/2 又是 9 的倍數.


所以
    n = 144k, k 是任意正整數; 或
    n = 72k+8, k 是大於 1 的整數.