According to ∣ x^n ∣ = ∣ n^x ∣, both of x and n is R.
Proof:
1. If -1 < n < 0 and 1/n is odd, there is only one x been fined; and x < 0.
2. If 0 < n < 1 and 1/n is Z, there is only one x been fined; and x > 0.
3. If n = 0, x is not fined.
4. If n is R+, and set f(x) = ∣ (-n)^x ∣, g(x) = n^x, f(x) = g(x).
5. If 0 < n <1 and 1/n is odd, and set x^(-n) = x^n, there are two x been fined; and, one is Z+, the other is Z-.
Solve:
1. If n = -1/3, fined x.
2. If n = 1/3, fined x.
3. Set x^(-1/3) = x^(1/3), fined x.
證：∣ x^n ∣ = ∣ n^x ∣, -1 < n < 1, x只有一解?
2021-04-03 10:47 am
回答 (1)
2021-04-06 2:20 am
這發問內容有點問題.
對於 x^y, 在實數系 x 並不能是任意實數的.
如果 y < 0, x 不能是 0.
如果 y 是有理數,
1/n 或 -1/n 型的話, 只當 n 是奇數時 x 可以為負;
n 為偶史時 x 必須非負.
m/n 型有理數時必須限定為最簡型式, 如此
x^(m/n) = ( x^(1/n) )^m = (x^m)^(1/n)
才不會有疑義.
如果 y 非確定, 或是無理數, 則 x 必須限定正數.
因此, 方程式 |x^n| = |n^x| 是有問題的. 不如修改為
x^n = n^x, x > 0; n > 0 (固定)
針對上列修改過的問題, 限定 0 < n < 1.
x^n 嚴格上升, 無上限.
x 從右邊逼近 0 時 x^n 趨近0.
因此, 可以說 x^n 是從 0 上升到無限大的函數.
n^x 當 x 從右邊逼近 0 時極限是 1.
由於 n < 1. 因此 n^x 是 x 的減函數,
x → +∞ 則 n^x → 0.
因此, 可以說 n^x 是從 1 下降至 0 的函數.
由於 x^n, n^x 都是連續函數, x^n = n^x 必有一解
且怡有一解.
如 n = 1/3,
在 x > 0, 如上述, x^(1/3) = (1/3)^x 恰有一解.
由於 x^(1/3) 可定義在整條數線, 考慮如不限 x > 0,
|x^(1/3)| = (1/3)^x 是否有負根?
由 0^(1/3) = 0 ≠ (1/3)^0 = 1; 更由於
|x^(1/3)| = |x|^(1/3)
x → 0 時 x^(1/3) → 0, n^x → 1;
x → -∞ 則 |x|^(1/3) → +∞,
(1/3)^x = 1/(1/3)^(-x) = 3^(-x) → +∞.
因此, 方程式 |x^(1/3)| = |x|^(1/3) 是否有負根就看
y^(1/3) = 3^y, y > 0
是否有解.
0 < y ≦ 1 時,
y^(1/3) ≦ 1 < 3^y
y > 1 時,
y^(1/3) < y < 1 + 2y < (1+2)^y = 3^y
所以, y^(1/3) = 3^y, y > 0 無解, 也就是說
|x^(1/3)| = (1/3)^x , x in R
只有正根, 無負根.
n = -1/3 時,
如前所述, n^x, x in R, 在實數係無定義.
倒是: |x^(-1/3)| = (1/3)^x 是否有解? 幾個解?
|x^(-1/3)| = |x|^(-1/3) = 1/|x|^(1/3)
從 x → -∞ 的極限值 0 上升, 至 x → 0- (從左邊逼近0)
時 |x|^(-1/3) →+∞, 再從 x → 0+ 降至 x → +∞ 時趨於0.
而 (1/3)^x = 3^(-x) 則從 x → -∞ 時的 +∞ 下降至 w
x = 0 時其值為 1, 再繼續下`降至 x → +∞ 時得極
限值 0.
因此恰有一負根.
是否有正根呢?
x^(-1/3) = 1/x^(1/3) > 1/3^x = (1/3)^x
因此正根不存在.
由於對稱性: for all x in R,
(-x)^(1/3) = -x^(1/3), (-x)^(-1/3) = -x^(-1/3).
因此 x^(1/3) = x^(-1/3) 若有一正根, 則對應有一負根;
反之亦然. 兩邊同取絕對值時亦然.
而在 x > 0 時, x^(1/3) 由 0 上升至 +∞, x^(-1/3) 為其
倒數, 由 +∞ 下降至趨近 0. 因此恰有一正 x 使
x^(1/3) = x^(-1/3)
那就是 x = 1. 因此, 無論是
x^(1/3) = x^(-1/3)
或
|x^(1/3)| = |x^(-1/3)|
其解都是 ±1.
上面對 x^(1/3), x^(-1/3) 的論述, 可以適用於 x^(1/n),
x^(-1/n), 其中 n 為奇數. 即:
x^(1/n) 由 -∞ 上升至 0, 再上升至 +∞;
x^(-1/n) 為其 倒數, 由 x → -∞ 時趨近 0 下降至 -∞,
再從 +∞ 下降至趨近 0.
而 (1/n)^x 由 x → -∞ 的 +∞ 下降至 x=0 時的 1, 再
繼續降至逼近 0. 因此,
|x^(1/n)| = (1/n)^x
恰一正根, x^(1/n) = (1/n)^x 亦然; 無負根.
|x^(-1/n)| = (1/n)^x
則恰一負根, 無正根. x^(-1/n) = (1/n)^x 則不存在實
數解. 至於 x^(1/n) = x^(-1/n) 和 |x^(1/n)| = |x^(-1/n)|
之解均為 ±1.
對於 x^y, 在實數系 x 並不能是任意實數的.
如果 y < 0, x 不能是 0.
如果 y 是有理數,
1/n 或 -1/n 型的話, 只當 n 是奇數時 x 可以為負;
n 為偶史時 x 必須非負.
m/n 型有理數時必須限定為最簡型式, 如此
x^(m/n) = ( x^(1/n) )^m = (x^m)^(1/n)
才不會有疑義.
如果 y 非確定, 或是無理數, 則 x 必須限定正數.
因此, 方程式 |x^n| = |n^x| 是有問題的. 不如修改為
x^n = n^x, x > 0; n > 0 (固定)
針對上列修改過的問題, 限定 0 < n < 1.
x^n 嚴格上升, 無上限.
x 從右邊逼近 0 時 x^n 趨近0.
因此, 可以說 x^n 是從 0 上升到無限大的函數.
n^x 當 x 從右邊逼近 0 時極限是 1.
由於 n < 1. 因此 n^x 是 x 的減函數,
x → +∞ 則 n^x → 0.
因此, 可以說 n^x 是從 1 下降至 0 的函數.
由於 x^n, n^x 都是連續函數, x^n = n^x 必有一解
且怡有一解.
如 n = 1/3,
在 x > 0, 如上述, x^(1/3) = (1/3)^x 恰有一解.
由於 x^(1/3) 可定義在整條數線, 考慮如不限 x > 0,
|x^(1/3)| = (1/3)^x 是否有負根?
由 0^(1/3) = 0 ≠ (1/3)^0 = 1; 更由於
|x^(1/3)| = |x|^(1/3)
x → 0 時 x^(1/3) → 0, n^x → 1;
x → -∞ 則 |x|^(1/3) → +∞,
(1/3)^x = 1/(1/3)^(-x) = 3^(-x) → +∞.
因此, 方程式 |x^(1/3)| = |x|^(1/3) 是否有負根就看
y^(1/3) = 3^y, y > 0
是否有解.
0 < y ≦ 1 時,
y^(1/3) ≦ 1 < 3^y
y > 1 時,
y^(1/3) < y < 1 + 2y < (1+2)^y = 3^y
所以, y^(1/3) = 3^y, y > 0 無解, 也就是說
|x^(1/3)| = (1/3)^x , x in R
只有正根, 無負根.
n = -1/3 時,
如前所述, n^x, x in R, 在實數係無定義.
倒是: |x^(-1/3)| = (1/3)^x 是否有解? 幾個解?
|x^(-1/3)| = |x|^(-1/3) = 1/|x|^(1/3)
從 x → -∞ 的極限值 0 上升, 至 x → 0- (從左邊逼近0)
時 |x|^(-1/3) →+∞, 再從 x → 0+ 降至 x → +∞ 時趨於0.
而 (1/3)^x = 3^(-x) 則從 x → -∞ 時的 +∞ 下降至 w
x = 0 時其值為 1, 再繼續下`降至 x → +∞ 時得極
限值 0.
因此恰有一負根.
是否有正根呢?
x^(-1/3) = 1/x^(1/3) > 1/3^x = (1/3)^x
因此正根不存在.
由於對稱性: for all x in R,
(-x)^(1/3) = -x^(1/3), (-x)^(-1/3) = -x^(-1/3).
因此 x^(1/3) = x^(-1/3) 若有一正根, 則對應有一負根;
反之亦然. 兩邊同取絕對值時亦然.
而在 x > 0 時, x^(1/3) 由 0 上升至 +∞, x^(-1/3) 為其
倒數, 由 +∞ 下降至趨近 0. 因此恰有一正 x 使
x^(1/3) = x^(-1/3)
那就是 x = 1. 因此, 無論是
x^(1/3) = x^(-1/3)
或
|x^(1/3)| = |x^(-1/3)|
其解都是 ±1.
上面對 x^(1/3), x^(-1/3) 的論述, 可以適用於 x^(1/n),
x^(-1/n), 其中 n 為奇數. 即:
x^(1/n) 由 -∞ 上升至 0, 再上升至 +∞;
x^(-1/n) 為其 倒數, 由 x → -∞ 時趨近 0 下降至 -∞,
再從 +∞ 下降至趨近 0.
而 (1/n)^x 由 x → -∞ 的 +∞ 下降至 x=0 時的 1, 再
繼續降至逼近 0. 因此,
|x^(1/n)| = (1/n)^x
恰一正根, x^(1/n) = (1/n)^x 亦然; 無負根.
|x^(-1/n)| = (1/n)^x
則恰一負根, 無正根. x^(-1/n) = (1/n)^x 則不存在實
數解. 至於 x^(1/n) = x^(-1/n) 和 |x^(1/n)| = |x^(-1/n)|
之解均為 ±1.
收錄日期: 2021-04-24 08:39:23
原文連結 [永久失效]:
https://hk.answers.yahoo.com/question/index?qid=20210403024741AA4oARm