證：∣ x^n ∣ = n^x , n ≧ 2，x 必有 3 解?

方程式 |x^n| = n^x, n≧2, 整數, 必有3解.

[證]
(1)
顯然 x = n 是一解.

(2)
x = 0 時 |x^n| = 0 < 1 = n^x
x = -1 時 |x^n| = 1 > 1/n = n^x
因 |x^n| 及 n^x 都是連續函數, 故
必存在 x = a 介於 0 與 -1 之間使
    |x^n| = |a^n| = n^a = n^x.

(3)
考慮 x > 0. |x^n| = x^n.
令 F(x) ≡ x^n - n^x

(a)
n = 2 時.
F(2) = F(4) = 0.
即 x = 2, x = 4 均為方程式
    x^n = n^x, x > 0
之解.

(b)
設 n > 2.

(用微積分).
  令 F(x) = x^n - n^x, 則 
    F'(x) = nx^(n-1) - (ln n)n^x.
故
    F'(1) = n > 0
    F'(n) = n^n - (ln n)n^n
            = (1 - ln n)n^n
            < 0 for n > 2.
故存在 x = b < n 使
    F'(b) = 0 且 F(b) > F(n) = 0.
因 F(1) = 1^n - n^1 < 0,
故存在 x = a 介於 1 和 b 之間使 F(a) = 0.

(不用微積分)
因 F(1) = 1 - n < 0, F(n) = 0,
若能證明存在 x = b < n 使 F(b) > 0,
則由勘根定理得證在在 x = a 介於 1 和 b 之間,
因此也介於 1 和 n 之間, 使 F(a) = 0.

n = 3 時 F(5/2) = 125/8 - 9√3 > 0.
對 n > 3, 考慮 x = n-1/2.
    F(n-1/2) = (n-1/2)^n - n^(n-1/2)
      = n^n{[1-1/(2n)]^n - 1/√n}
用數學歸納法可證得 (1-t)^n > 1-nt. 故
    [1-1/(2n)]^n - 1/√n
      > 1-1/2-1/√n ≧ 0 for n ≧ 4.
故 F(n-1/2) > 0 for n ≧ 3.

因此, 在 1 與 n-1/2 之間存在 x = a 滿足
    x^n = n^x.

由以上 (1), (2), (3) 知 |x^n| = n^x, n≧2,
至少 (實際上, 恰有) 一負根, 二正根. 負根介於
0 和 -1 之間; 正根一是 x = n, 當 n = 2 時另一
正根是 x = 4, n > 2 時則介於 1 和 n-1/2 之間.



n = 3 時, |x^3| = 3^x.
找負根, 考慮
    F(x) = 3^x + x^3 = 0
找正根, 考慮
    F(x) = 3^x - x^3 = 0

用數值方法, 例如牛頓法, 二分法等.

二分法保證收歛, 但收歛速度較慢.
負根從 (-1,0) 找起, 20次試算後得
    x ≒ -0.757697105 精確至小數5位;
30次試算得
    x ≒ -0.757696980 精確至小數8位.
正根 (x≠3) 從 (1,2.5) 找起, 20次試算後得
    x ≒ 2.478051662 精確至小數5位;
30次試算得
    x ≒ 2.478052681 精確至小數8位.